назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [ 24 ] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


24

То есть если бы это было непрерывное распределение, то мы могли бы ожидать 50% его реализаций меньше 2,111 и 50% - больше.

Теперь рассчитаем вероятности для четырех квадрантов:

р(< 0,5 I < 0,5) = 0,5 * 0,5 * (1 - IО I) + 0,5 * IОI = 0,25 * 1 + 0,5 . О = 0,25.

«Подождите, - скажете вы, - поскольку имеет место стохастическая независимость, нет нужды все это проделывать; мы можем просто перемножить вероятности для каждого из четырех квадрантов и определить вероятности, ассоциированные с каждым квадрантом. Это даст совместную вероятность 0,25 для каждого квадранта» Все это совершенно верно. Квадранты разделены точно значением 1 по X и значением 2,111 по Y. То есть в каждом квадранте мы можем ожидать 25% всех реализаций, или 6,75 реализаций из 27 (27 * 0,25).

Глядя на таблицу, может оказаться сложновато вьщелить в каждом квадранте 6,75 исходов: ведь в ней представлены дискретные исходы, а мы для удобства дихотомизации таблицы на равновероятных уровнях обрашались с ними, как с непрерывными. Например, если взять строку реализаций у для исхода «2», то сколько их будет ниже, а сколько выше уровня 2,111?

Разумеется, в случае более удобных распределений механизм образования совместных вероятностей из составляющих безусловных вероятностей более нагляден.

А сейчас рассмотрим другую ситуацию с двумя потоками исходов двенадцати конов:

ПотокХ 2 1-1-22 Потоку 2 2 2 11 ВРЕМЯ

1-1 2 1-1-2 1 -1 -1 -2 -2 -2

Мы можем определить, что коэффициент корреляции этих двух потоков равен 0,33333. Если мы теперь примемся составлять

таблицу совместных вероятностей, то определим также и безусловные плотности (каждый из четырех сценариев каждого сценарного спектра имеет вероятность реализации 0,25).

Безусл. плотность у

3 (Р = 0,25)

у -1

3 (р = 0,25)

3 (Р = 0,25)

3 (р = 0,25)

Безусл. плотность X

вероятность

0,25

0,25

0,25

0,25

р = 1,0

Если мы теперь проведем дихотомизацию точно на уровне 0,5 для обоих сценарных спектров, то в каждом спектре получим по два сценария, которые будем называть «-Ь» и «». Вероятность реализации каждого сценария в спектре равна 0,5. Сценарий «+» включает те исходы, которые больше О, а сценарий «-» содержит исходы, меньшие 0. Таблица будет выглядеть следующим образом:

Вернемся теперь к нашему уравнению для определения совместных вероятностей и посмотрим, насколько близки эти данные к расчетным:

р(--) = 0,5 * 0,5 * (1 -1 0,3333 I) + 0,5 . ! 0,3333

= 0,25 * 0,6666 + 0,5 * 0,3333

= 1,66666 + 0,166666

= 0,33333



0,333333

0,1666666

0,1666666

0,3333333

Если умножить их на количество исходов (12), то получим следующую таблицу частот ожидаемых исходов:

Это точно совпадает с эмпирическими данными потока исходов. Заметьте, что такая точность объясняется тем, что мы провели дихотомизацию на уровне 0,5.

Судя по таблице, мы, например, можем ожидать отрицательного числа в потоке X и отрицательного числа в потоке У в четырех из двенадцати случаев и так далее (для трех других квадрантов.

«Подождите, - скажете вы, - разве нельзя взять один из этих квадрантов и дихотомизировать его для получения более детальных вероятностей, не офаничиваясь достигнутым?» Другими словами, в этом примере вы хотите знать не только, какова вероятность, скажем, положительного числа в обоих потоках, но и какова вероятность -2 в потоке X и -1 в потоке Y. То, чему мы пока что научились, даст вам точное совместное распределение, если у вас есть два бинарных безусловных распределения - то есть, когда у вас есть два безусловных распределения, каждое из которых имеет только два возможных исхода, два возможных сценария (как в большинстве азартных игр, где вы выигрываете М с вероятностью Xw. проигрываете Лс вероятностью Y). Однако хотелось бы получать совместные распределения для любых безусловных распределений, а не только для бинарных.

Тут-то мы и подходим к сути дела.

Теория условной вероятности

Мы можем дихотомизировать таблицу совместных вероятностей любых двух сценарных спектров при условии, что известны сами эти сценарные спектры (т. е. вероятности, ассоциированные с каждым сценарием) и коэффициент корреляции между ними. То есть мы можем определить величины в каждом из четырех квадрантов таблицы совместных вероятностей.

Мы можем продолжить дихотомизацию таблицы для получения более детальных вероятностей, не ограничиваясь уровнем

р(-+) = 0,5 * 0,5 * (1 -10,33331) + О . 10,33331 = 0,25 * 0,6666 + О = 1,66666 + 0 = 1,66666

р(++) = 0,5 * 0,5 * (1 -1 0,3333 I) + 0,5 .1 0,3333 = 0,25 . 0,6666 + 0,5 * 0,3333 = 1,66666 + 0,166666 = 0,33333

р(+-) = 0,5 * 0,5 * (1 - 10,3333 I) + О . I 0,3333 = 0,25 * 0,6666 + О = 1,66666 + 0 = 1,66666

Таким образом, наша формула дает следующие оценки совместных вероятностей:



четырех квадрантов таблицы. Так, мы можем взять, скажем, верхний левый квадрант и использовать его в качестве исходной таблицы. Проделав это со всеми четырьмя квадрантами, мы получим по четыре квадранта для каждого квадранта из четьфех исходных. То есть мы получим совместные вероятности для каждой из шестнадцати частей таблицы. Мы можем продолжить эту процедуру, если требуется еше больший уровень детализации.

Здесь, однако, мы сталкиваемся с затруднением, в котором отражается вся суть взаимосвязи условных вероятностей и корреляции. А именно у каждого квадранта есть свой собственный коэффициент корреляции. Чтобы убедиться в этом, вернемся к нашему предьщушему примеру. Мы начали со следуюших двух потоков исходов:

ПотокХ 2 1-1-221-1 2 1-1-2 Потоку 2 2 2 1 1 1 -1 -1 -2 -2 -2. ВРЕМЯ

Исходя из этих потоков, мы можем построить следующую таблицу:

Безусл. плотность у

3 (р = 0,25)

3 (р = 0,25)

3 (р = 0,25)

3 (р = 0,25)

плотность X

Мы знаем, что коэффициент корреляции г между этими двумя потоками равен 0,33333. Но этот коэффициент корреляции касается только первого квадранта, представляюшего собой всю таблицу.

Теперь, применяя нашу формулу для определения совместных вероятностей, в которую входит коэффициент корреляции потоков, для дихотомизированных сценарных спектров, найдем совместные вероятности для всех квадрантов таблицы:

0,333333

0,1666666

0,1666666

0,3333333

Если умножить эти вероятности на количество исходов (12), то получим следующую таблицу частот ожидаемых исходов:

Теперь мы можем утверждать, что квадрант «-»«-», то есть верхний левый квадрант, является таблицей, которую мы хотели бы дихотомизировать, например, для того, чтобы узнать совместные вероятности, ассоциированные с X vi Y, когда они оба отрицательны:

-2 -1

Но теория условных вероятностей, опирающаяся на корреляцию, говорит нам, что здесь мы не можем пользоваться коэффициентом корреляции всего потока (он, как мы знаем, равен 0,333). Вместо этого мы должны использовать коэффициент корреляции только тех исходов, где и X, и у отрицательны. Поэтому, беря только те отрезки потоков исходов, где они оба отрицательны, получаем:

ПотокХ -1 -2 -1 -2 Потоку -1 -1 -2 -2. ВРЕМЯ

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [ 24 ] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]