-Q О

-Q О

0.1 0.05

Рис. 3.2.

(т. е. функция не будет линейно взвешенной), например сигмо-идой (т. е. растянутой S-образной кривой, проходящей через наши три точки).

Итак, в обоих потоках орел выпал четыре раза из десяти (аналогично, решка выпала в обоих потоках четыре раза из десяти), что дает вероятность 0,4. Обратите внимание, что если функция линейна, то есть изображается на графике прямой линией, то эта прямая проходит через точку, соответствующую коэффициенту корреляции 0,6 и вероятности 0,4. Если бы график функции отличался от прямой, то коэффициенту корреляции 0,6 соответствовало бы все, что угодно, кроме 0,4! (см. рис. 3.3).

Теперь рассмотрим нашу функцию применительно к этим двух потокам исходов:

РСцз) = Pi * Рг * (1 - И) + Д?! * Рг) * И = 0,5 * 0,5 * (1 - 0,6) + 0,5 * 0,6 = 0,25.0,4 + 0,5.0,6 = 0,1 + 0,3 = 0,4

То есть мы видим, что наша формула дает такой результат, который подтверждается самим потоком исходов. Мы можем ожидать появления орлов в обоих потоках одновременно с вероятностью 0,4, при бросании двух идеальных монет с коэффициентом корреляции г = 0,6.

-Q О

-Q О

-0.5 0.45.

-0.4 0.35 0.3 0.2!

-0.1 0.05 -О

-0.5О0.5

Correlation coefficient

Рис. 3.3. Совместные вероятности линейно взвешены с помощью коэффициента корреляции.

Эта аппроксимация проходит только в случае биномиального распределения (т. е. при двух сценариях в спектре). Чем более уклоняются вероятности от 0,5 на сценарий, тем менее точной она становится. Другими словами, это решение является точным, когда вы дихотомизируете два сценарных спектра; в противном случае она превращается в аппроксимацию убывающей точности.

Впрочем, любые сценарные спектры можно свести к биномиальным распределениям (наборам только из двух сценариев), путем дихотомизации около их центров. Вновь обратимся к сценарному спектру нашей промышленной компании. Он содержит восемь различных сценариев. Мы можем дихотомизировать их, объединив воедино сценарии Войны, Кризиса и Стагнации в один сценарий нового сценарного спектра, который мы будем называть сценарием Плохой половины исходов. Аналогичным образом, мы можем объединить воедино сценарии мира и процветания в сценарий Хорошей половины исходов нового спектра. Теперь мы можем обращаться с преобразованным спектром так же, как и с другими спектрами, содержащими по два сценария, и аппроксимировать совместные вероятности четырех возможных совместных исходов (рис. 3.4).

Дихотомизация сценарных спектров для аппроксимации совместных вероятностей эффективна лишь до тех пор, пока вы разделяете их примерно на равновероятном уровне (0,5). Чем дальше от него проводится дихотомизация, тем менее точной становится аппроксимация.

Рис. 3.4.

Вновь обратимся к примеру из Феллера, приведенного в начале этой главы:

Безусл. плотность Y

Безусл. плотность X

Если дихотомизировать сценарный спектр X, объединив исходы О и 1 в сценарий А спектра X, а исходы 2 и 3 в сценарий В спектра X, то мы удалимся от равновероятного уровня. Уровень, который мы получим при такой дихотомизации, будет равен 0,74074, поскольку, судя по безусловным плотностям в X, двадцать из двадцати семи исходов (74,074%) приходятся на О или 1, и только семь из двадцати семи исходов (25,92%) приходятся на 2 или 3 (см. рис. 3.5).

Если то же самое проделать со сценарным спектром У, объединяя исходы 1 и 2 в сценарий А спектра У, а исход 3 переименовывая в сценарий В спектра У, то преобразованный спектр У станет таким, как показано на рис. 3.6.

Заметьте, что спектр У также дихотомизирован не равновероятно, а поблизости к 0,777.

Приступим к формированию таблицы совместных вероятностей в следующем виде:

0,296

0,74074 0,9629 1,0

Рис. 3.5. Дихотомизация безусловной плотности X.

о 0,111

0,777

Рис. 3.6. Дихотомизация безусловной плотности Y.

Теперь, исходя из того, что коэффициент корреляции г между этими двумя сценарными спектрами равен О, определим четыре совместные вероятности нашей таблицы:

р{А 1 А) = 0,74074 * 0,777 * (1 - 0) + 0,74074 * О = 0,5761;

р{А I В) = 0,74074 * 0,222 * (1 - 0) + О * О = 0,16461;

0,50,95 1,0

Поскольку в исходной таблице мы использовали не вероятности, а фактические замеры по двадцати семи реализациям, мы можем умножить полученные вероятности на двадцать семь и получить таблицу ожидаемых частот:

Мы видим, что можно ожидать 15,56 реализаций (из двадцати семи) по сценарию А из спектра X и по сценарию А из спектра Y. Вспомните, что это соответствует реализации О или 1 исходного спектра X и 1 или 2 исходного спектра Y. Переходя к исходному спектру, обнаруживаем, что на самом деле таких реализаций было четырнадцать (из двадцати семи):

Сходные ошибки можно найти и в других трех квадрантах. Такой неточностью мы обязаны тому, что дихотомизировали исходное распределение слишком далеко от действительно равновероятного уровня (мы дихотомизировали на уровнях 0,74074 и 0,777). Поэтому наши аппроксимации совместных распределений оказались менее точными.

Давайте вернемся назад и дихотомизируем эту таблицу на уровнях 0,5. Для этого попытаемся ответить на вопрос: «Где на оси X находится уровень 0,5?»

Сначала просуммируем произведения каждого исхода X на его частоту:

8*2 = 0; 12* 1 = 12; 6*2 = 12; 1*3 = 3. Итого = 27.

Теперь разделим полученную сумму на общее количество реализаций (27) и найдем взвешенное по вероятности среднее:

27/27 = 1

Это значит, что если бы это было непрерывное распределение, то мы могли бы ожидать 50% реализаций меньше 1 и 50% - больше.

1*3 = 3; 2* 18 = 36; 3*6= 18; Итого = 57.

Теперь разделим полученную сумму на общее количество реализаций (27) и найдем взвешенное по вероятности среднее:

57/27 = 2,111

р{В\А) = 0,2592 * 0,777 * (1 - 0) + 0,0362 * О = 0,2016461;

р(5 В) = 0,2592 * 0,222 * (1 - 0) + 0,222 * О = 0,05761316873.

(Обратите внимание на величины интерантисечений в предьщущих уравнениях.)

Теперь мы можем завершить таблицу: