назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


22

двух орлов была бы равна нулю. Однако вероятность выпадения на первой монете орла, а на второй монете - решки равна 0,5, что равно вероятности выпадения на первой монете орла (так как г = -I, вторая монета всегда выпадает решкой, если первая выпала орлом).

Введем теперь понятие, которое за неимением лучшего термина будем называть интерантисвчвнивм. Для этого вновь обратимся к случаю г= 1, то есть, когда при выпадении одной монеты орлом, другая монета также выпадает орлом. Мы говорим, что вероятность этого (0,5) равна вероятности выпадения одной из монет орлом, поскольку используются идеальные монеты с вероятностью выпадения орла, равной 0,5.

Монета 1

Монета 2

Решка

Решка

Предположим далее, что одна из монет не идеальна и вероятность выпадения на ней орла равна не 0,5, а 0,4. Теперь вероятность выпадения двух орлов будет равна 0,4 - меньшая из вероятностей перекрывает большую.

Монета 1

Монета 2 Щ

Если бы вероятность выпадения решки была равна 0,4 (и, следовательно, вероятность выпадения орлов была бы равна 0,6), то вероятность выпадения двух орлов была бы равна 0,5 - меньшей из двух вероятностей (так как вероятность орла на одной монете равна 0,6, а на другой равна 0,5).

Монета

Монета 2

Решка

Решка

При этом у какой из монет, первой или второй, вероятность меньше, роли не играет:

Монета 1

Монета 2

Решка

Решка

Интерантисечение при /• = 1 и есть описанное перекрытие, то есть меньшая из двух вероятностей. На предьщущем рисунке интерантисечением выпадения обеих монет решкой будет 0,4. Другими словами, при положительном г интерантисечение есть пересечение двух вероятностей.

Когда коэффициент корреляции отрицателен, второй сценарный спектр (в данном случае монета 2) переворачивается на 180 градусов.

Монета

Монета 2

Решка

Решка

Заметьте, что на предыдущем рисунке вторая монета переворачивается на 180 градусов, давая тем самым совместную вероятность 0,5 выпадения орла на первой монете (с вероятностью

О0,6



0,6) и решки (с вероятностью 0,5) - на второй, если коэффициент корреляции между двумя монетами равен - 1.

Если бы мы захотели найти интерантисечение выпадения двух орлов, то, как явствует из следующего рисунка, получили бы вероятность 0,1.

Монета 1

Монета 2

Решка

1 Решка р

0,5 0,6

Interantisection

Вспомните теперь, что при бросании двух монет в условиях стохастической независимости между ними (т. е. коэффициент линейной корреляции г = 0), вероятность выпадения двух орлов равнялась произведению индивидуальных вероятностей (см. уравнение [3.01]):

р(Н,Н,) = р(Н,)*р(Н,), или в более краткой форме:

P(lt2)=Pl*P2-

Следовательно, для идеальных монет (т. е. у каждой вероятность выпадения орла равна 0,5) при нулевом коэффициенте вероятность выпадения двух орлов будет равна:

р(Н,Н,) = р(Н,).р(Н,) = 0,5.0,5 = 0,25.

Но когда коэффициент корреляции равен 1, совместная вероятность представляет собой пересечение индивидуальных вероятностей, или 0,5 в данном случае. Когда коэффициент кор-

реляции равен -1, это будет пересечение после поворота на 180 градусов (антисечение) одного из сценарных спектров, что в данном случае даст нулевую вероятность выпадения двух орлов.

Итак, мы научились находить совместные вероятности, когда коэффициент корреляции между двумя сценарными спектрами равен -1 или 1. Как же нам аппроксимировать совместные вероятности, когда коэффициент корреляции имеет не столь удобные значения?

Обратите внимание на два фактора, которые влияют на совместные вероятности. Первый из них - это произведение индивидуальных вероятностей (при г = 0):

Pi*Pr

Вторым из них является интерантисечение двух вероятностей (при И = 1):

Д?! * Рг)-

Нижним пределом совместных вероятностей является нуль, получающийся, когда интерантисечение равно О, а также, когда хотя бы одна из вероятностей Pj или Р2 равна 0. Тогда и первый фактор, произведение двух вероятностей, и второй фактор, их интерантисечение, будут нулевыми.

Верхний предел величины совместной вероятности может быть меньше меньшего из Pj или р. В этом легко убедиться, ибо фактор интерантисечения никогда не может быть больше, чем минимум из Pj и р. Поскольку вероятность не может быть больше 1, то произведение Pj *Р2 не может быть больще меньшего из Pj и р. То есть мы можем утверждать, что верхний предел величины совместной вероятности равен меньшей из вероятностей.

Исходя из нулевой нижней границы и верхней границы, равной минимуму из Pj и р, будем искать условную вероятность в виде линейно взвешенной суммы двух этих факторов:

Pi * р * W1 + /(Pi * Р2) * W2.



Но что мы будем использовать в качестве весов W1 и W2? Как оказывается, W1 равен 1 минус абсолютная величина коэффициента корреляции:

W1 = (1 - И).

А W2 есть просто абсолютная величина коэффициента корреляции:

W2 = И.

Эта весовая схема гарантирует нам, что мы останемся в пределах верхних и нижних границ. Так, когда г = О, наше уравнение целиком склоняется в пользу произведения двух вероятностей, а когда И = 1, перевес будет целиком в пользу интерантисечения. Полностью уравнение для аппроксимации совместных вероятностей имеет вид:

P(Pi IPz) = Pi *Р2 * (1 - И) + ДР, *Р2) * И-

Мы называем функцию линейно взвешенной (т. е. ни один из ее аргументов не имеет степени большей единицы), так как ее графиком служит прямая линия. Мы можем убедиться в линейности соотношений между р, * ри /(р, * р), наблюдая за следующими двумя потоками исходов бросания монеты:

Поток! ОООООРРРРР Поток2 ООООРОРРРР ВРЕМЯ

Если приглядеться к этим двум потокам, то мы увидим, что в каждом из них вероятность исхода О и исхода Р равна 0,5. Подсчитав коэффициент корреляции между этими потоками, получим 0,6.

Далее, для г = О получаем р, * Pj = 0,5 * 0,5 = 0,25. Если нас интересует выпадение орлов в обоих потоках одновременно, то получаем интерантисечение /(Pj * р), равное 0,5:

Монета

Монета 2

Решка

Решка

Если коэффициент корреляции больше О, то мы не разворачиваем сценарный спектр на 180 градусов. Заметьте, что, когда нас интересует интерантисечение обоих потоков, одновременно дающих решку, получим, что его величина также равна 0,5.

При г = О имеем, что совместная вероятность выпадения обоих орлов равна р * р (или, как в данном случае, и для обеих решек). При г = 1 имеем совместную вероятность, равную ин-терантисечению 0,5. При г = - 1 интерантисечение было бы равно О, а, значит, и совместная вероятность равна О, как явствует из следующего рисунка.

Монета 1

Монета 2

Решка

Орел

Interontisection is О

Таким образом, получаем следующие три точки, в которых мы уверены:

Вероятность

0,25 0,5

Изобразим эти три точки на графике (см. рис. 3.2.).

Мы видим, что эти три точки можно соединить прямой линией. Впрочем, их можно соединить и какой-нибудь кривой

О0,5

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [ 22 ] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]