назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [ 21 ] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


21

Эта совместная вероятность 0,25 выпадения орлов на обеих монетах может быть получена из того, что всего имеется четыре равновероятных возможных исхода при бросании двух монет (00, ОР, РО, РР), образующих выборочное пространство. Следовательно, щансы 00 равны 1 из 4, или 0,25.

Количество реализаций (частота) и вероятность

Чаще всего совместные вероятности для двух случайных переменных представляются в табличной форме. Например, для нащего потока исходов одновременного бросания двух монет (00, ОР, РО, РР) мы можем составить таблицу, демонстрирующую эти четыре одновременных события:

Количество реализаций (частота)

Монета 1

Орел

Рещка

Орел

Рещка

Монета 2

Часто с помощью таблиц представляют и вероятности:

Веро5пности

Монета 1

Монета 2

Орел

Рещка

Орел

0,25

0,25

Рещка

0,25

0,25

Мы предполагаем, и вполне правомерно, что между двумя монетами нет никакой корреляции. То есть исходы бросаний двух монет не зависят друг от друга. Если бы это было не так, то каждый из четырех возможных исходов (00, ОР, РО, РР) не имел бы одну и ту же вероятность реализации.

Теперь введем понятие стохастической независимости. Если совместная вероятность двух событий равна произведению их индивидуальных вероятностей (как в нащем примере с бросанием монеты), то говорят, что налицо стохастическая независимость. То есть, когда верно выражение

р(ВА)=р(А)*р(В)

[3.01],

тогда имеет место стохастическая независимость. Часто через это уравнение определяют совместную вероятность независимых случайных переменных.

Стохастическая независимость, следовательно, синонимична в используемом нами смысле нулевому коэффициенту корреляции между двумя потоками исходов.

Поэтому при наличии стохастической независимости мы можем говорить, что коэффициент корреляции равен нулю. Обратное, однако, неверно. Мы вскоре увидим, что бывает и так, когда коэффициент корреляции равен нулю, а стохастической независимости нет.

Когда мы говорим о таблице исходов одной случайной переменной, мы имеем в виду безусловное распределение этой переменной. Например:

Монета 1 ОрелРещка

Когда речь идет о таблице исходов большего количества переменных, мы имеем в виду то, что называется совместным распределением переменных. Например:



Орел

Решка

Орел

0,25

0,25

Решка

0,25

0,25

Монета 2

Обычно условные вероятности рассматриваются в предположении стохастической независимости. Во многих случаях, вроде бросания двух монет, это предположение оправданно. Но есть масса реальных ситуаций, например, при оценке вероятности того, что в определенный день одновременно вырастут две акции (акции обычно положительно коррелированны друг с другом, т. е. коэффициент корреляции > 0), это традиционное предположение теряет силу. Совместные вероятности нельзя рассчитать простым перемножением индивидуальных вероятностей.

Эта проблема изводила меня в течение трех лет. Я пытался найти решение на пути обобщения теории условных вероятностей. То есть такое, которое бы давало условные вероятности для любых значений коэффициента корреляции, а не только для удобных значений, вроде О, 1 или -1. Мне нужна была теория, которая давала бы условные вероятности для всех значений коэффициента корреляции между двумя случайными переменными.

Я докучал университетам, докторам математики, свихнувшимся профессорам, южноамериканским знахарям, статистикам из страховых обществ и всем прочим, кто, по моему мнению, мог бы иметь ключ к этой проблеме. Часами я просеивал горы скучных технических журналов.

Я лично непрестанно искал решение этой проблемы. Я безрезультатно возился с идеей суперпозиции двух распределений исходов под углом между ними, согласно коэффициенту корреляции, вычисляя интегралы по образуемым ими поверхностям. Долгое время я думал, что смогу воспользоваться направляющими (частью очевцгшых на желаемых верояшоегях и туманных в осгалыюм). Я хотел выстроить их под углами, согласно их корреляции, пустить вектора, которые пройдут через очевидные части. Пересекаемые ими области будут разделены параллелограммом, образованным возможными зонами пересечения событий, откуда будут получены совместные вероятности. Я вывел все необходимые формулы и запрограммировал их в виде огромных электронных таблиц для анализа результатов этой

концептуальной эквилибристики. На это ушла масса блокнотных страниц, салфеток и этикеток спичечных коробков.

Чем больше я работал над этой проблемой, тем более важным казалось мне ее решение. Почему же никто не мог решить проблему совместных вероятностей, столь важной для практических нужд? Почему же условные вероятности проработаны лишь для самых удобных значений коэффициента корреляции? Это было единственное, чего не хватало нашей новой методологии инвестирования. Я вывел целевую функцию, но в ней в качестве аргументов использовались именно эти условные вероятности.

Как вы увидите в следующей главе, для реализации более совершенного подхода к инвестированию имелось все, кроме способа расчета совместных вероятностей по любым значениям коэффициента корреляции между двумя потоками случайных переменных.

Подлинное страдание причиняла мне известная теорема об условных вероятностях, утверждавшая, что совместную плотность вероятности нельзя получить из безусловных плотностей вероятности компонент. Согласно традиционной точке зрения считалось, что в отсутствие стохастической независимости функция совместной плотности вероятности является уникальной, вполне самостоятельной, которая возникает как бы ниоткуда! То есть она не выражается через функции безусловных плотностей составляющих, а есть новая, самостоятельная функция плотности вероятности, которая не может быть восстановлена из функций безусловных плотностей составляющих. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую таблицу, позаимствованную у Феллера*, которую мы графически проиллюстрировали на рис. 3.1.

0 12 3 Безусл. плотность Y

у 2

Безусл. плотность X

* William Feller, An Introduction to Probabililty Theory and Its Applications, Vol. II, New York: John Wiley & Sons, 1966.

Монета 1



Рис. 3.1. Распределение совместной вероятности.

Коэффициент корреляции между потоками исходов события X и события Y равен нулю. Поэтому, если бы имела место стохастическая независимость, то можно было бы ожидать, что вероятность Х = 0 и Y = 3 будет равна (6/27) * (8/27) = 0,222 * 0,0658 = 0,0658. Вместо этого, эта вероятность равняется нулю, подтверждая тем самым принятую теорему условных вероятностей о том, что совместные плотности не могут быть получены из безусловных плотностей компонентов.

Было известно, как определять коэффициент корреляции при наличии только совместной плотности и безусловных плотностей* , но долгое время считалось, что нельзя определить совместную плотность, располагая лишь безусловными плотностями и коэффициентом корреляции потоков. А именно это мне и было нужно.

я не мог принять традиционную точку зрения и стал еще более одержим поисками такого решения этой проблемы, которое

* Fred Gehm,Commodity Market Money Management, New York: Wiley, 1983, p. 3.

было бы четким и легко применимым на практике. То есть мне нужно было такое решение, посредством которого при наличии коэффициента корреляции и вероятностей, ассоциированных с двумя сценарными спектрами (например к двум монетам, имеющими два равновероятных сценария О и Р), представленными двумя безусловными плотностями вероятности, можно было бы рассчитать плотность совместной вероятности.

В конце концов я понял механизм формирования совместной плотности вероятности из безусловных плотностей вероятности. Однако, как вы увидите, этот механизм оказался не столь четким и простым, как мне бы хотелось.

Природа вновь не идет на сотрудничество.

Рассмотрим два одновременных сценарных спектра с ненулевым коэффициентом корреляции и оценим вероятность совместной реализации двух заданных сценариев, по одному из каждого спектра.

Вспомним, что, когда мы бросаем две монеты и исходы стохастически независимы (т. е. коэффициент линейной корреляции г равен 0), вероятность выпадения двух орлов равна произведению индивидуальных вероятностей (см. формулу [3.01]):

р(Н,Н,) = р(Н,)*р(Н,),

или в более краткой форме:

Pdiz) = Pi* Pi

Теперь давайте представим себе, что две наши монеты могут телепатически общаться между собой так, что, когда первая монета выпадает орлом, вторая также выпадает орлом. Это ситуация соответствует коэффициенту линейной корреляции г, равному 1. Вероятность выпадения двух орлов равна 0,5 - вероятности выпадения орла на первой монете.

Если бы коэффициент корреляции был равен -1 (то есть если первая монета выпадает орлом, то вторая обязательно - решкой), то при бросании двух монет вероятность выпадения

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [ 21 ] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]