назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


19

(Наилучший исход)

(Наихудший исход)

Цена уверенности

Расчетная полезность

0 "

$20000

$15000

$10000

$7500

$5000

$2500

$800

-0,2

-$1500

-0,4

-$3000

-0,6

-$4000

-0,8

-$10000

-1,0

ф "5 о. Е о

-10,000

Certainty equivalent

20,000

Рис. 2.5. Пример функции полезности.

Далее, расположив расчетную полезность по оси у, а цену уверенности по оси х, вычертите соответствующий график. В результате ваша функция полезности будет выглядеть так, как это показано на рис. 2.5.

Теперь нужно повторить расчеты, но только с другими наилучшим и наихудшим исходами. В качестве таковых выберите из предьщущей таблицы по одной цене уверенности для наилучшего и для наихудшего исходов. Предположим, мы выбрали 10000 долларов и -4000 долларов. Заметьте, что расчетные полезности, ассоциированные с этими ценами уверенности, равны 0,6 (10000 долларов) и -0,8 (и -4000 долларов). Поэтому значения и я V при определении расчетных полезностей в этой второй таблице будут равны 0,6 и -0,8, соответственно. Вновь назначьте цены уверенности и рассчитайте соответствующие расчетные полезности:

(Наилучший исход)

(Наихудший исход)

Эквивалент достоверности

Расчетная полезность

$10000

$8000

0,46

$6000

0,32

$5000

0,18

$4000

0,04

$2500

-0,10

$500

-0,24

-$1000

-0,38

-$2000

-0,52

-$3000

-0,66

-$4000

-0,80

А затем снова вычертите их на графике. Этот процесс нужно повторить несколько раз, продолжая вычерчивать все величины на одном и том же графике. При этом перед вами.



ВОЗМОЖНО, начнет открываться некоторая разбросанность величин, то есть не все они будут четко тяготеть к одной и той же линии. Такой разброс свидетельствует о непоследовательности ваших решений. Разброс обычно более выражен около экстремумов графика (слева и справа). Это естественно и лишь указывает те области, где вы, по-видимому, не обладаете большим опытом выигрышей и проигрышей.

Большое значение имеет форма кривой, которую нужно рассматривать с позиций предыдущего раздела {Свойства функций предпочтения полезности). Довольно часто эта форма оказывается не такой идеальной, как приводимые в учебниках вогнутые вверх, вогнутые вниз или прямолинейные разновидности. Это вновь как-то характеризует вас и заслуживает тщательного изучения.

В конечном итоге наиболее продуктивной формой функции предпочтения полезности в смысле максимизации капитала является прямая, устремленная вверх с понижающейся абсолютной величиной и постоянной относительной величиной неприятия риска и почти индифферентная к справедливой азартной игре. То есть мы индифферентны к азартной игре, не имеющей хотя бы самого минимального положительного математического ожидания. Если ваша кривая хоть в чем-то хуже этого, то, возможно, пришло время подумать над тем, к чему и зачем вы стремитесь, и, быть может, провести некоторую самокоррекцию.

Полезность и новая методология

у этой книги нет никакой иной позиции относительно теории полезности, кроме следующей: независимо от вашей кривой предпочтения полезности, вы располагаетесь где-то на плоскости рычагов для одной игры (рис. 1.2) и где-то в

(и + 1)-мерном пространстве рычагов для многих одновременных игр, пользуясь преимуществами и оплачивая издержки этого, вне всякой связи с тем, каково ваше предпочтение полезности.

Зачастую критерий среднего геометрического критикуют за его нацеленность исключительно на максимизацию капитала и за то, что он максимизирует полезность только для логарифмической функции.

На деле же, тот, кто не придерживается логарифмической функции предпочтения полезности, всегда может максимизировать полезность во многом подобно тому, как мы максимизируем капитал с помощью оптимального /, за тем исключением, что для каждого периода владения будет свое значение оптимального / То есть если чья-то функция предпочтения полезности отличается от In X (максимизация капитала), то его оптимальное/для максимизации (асимптотической) полезности будет переменным, в то время как его оптимальное / для максимизации капитала будет постоянным. Другими словами, если, зарабатывая больше денег, вы следуете такой полезности, что готовы рисковать все меньше, то ваше оптимальное /будет уменьшаться с завершением каждого периода владения.

Не смешивайте это с ранее высказаным положением, согласно которому оптимальное / для максимизации ожидаемого среднего общего роста является функцией количества периодов владения, после которого вы останавливаетесь. Это по-прежнему так. Здесь же обсуждается другое положение, согласно которому оптимальное для максимизации полезности / меняется со временем. Например, мы убедились при рассмотрении игры в монетку «два-к-одному», что если мы планируем остановиться после трех игр, или трех периодов владения, то максимизировали бы рост, ставя на каждый кон по 0,37868 счета. То есть мы постоянно ставили бы по 0,37868 счета на все три кона.

Если теперь нам нужно максимизировать иную полезность, чем при максимизации капитала, то у нас не будет единого значения /для всех и для каждого розыгрыша. Напротив, для каждого кона мы получили бы свое, отличное от других, значение /

Таким образом, с помощью данного подхода можно максимизировать полезность, не сводящуюся к логарифмической



функции предпочтения полезности, использовать разные значения f при переходе от одного периода владения к другому. Если предпочтение полезности логарифмическое, то есть как при максимизации капитала, то оптимальное / всегда постоянно. Другими словами, оптимальное / не изменяется от одного кона к другому. Если предпочтение полезности отличается от In х (максимизация капитала), то нужны различные оптимальные / при переходе от одного периода владения к другому.

Максимизировать полезность можно тем же самым способом, который используется при максимизации капитала. Для этого исходам каждого сценария вместо долларовых величин нужно сопоставлять величины, выраженные в ютилах (может быть, просто в «единицах полезности» ?). Под ютилом понимается некая единица удовлетворенности. Набор сценариев должен содержать сценарии с отрицательными ютилами точно так же, как при максимизации капитала нужно иметь сценарии, соответствующие потере денег. Кроме того, (арифметическое) математическое ожидание набора сценариев в ютилах должно быть положительным или отрицательным, когда это улучшает общую смесь компонентов.

Но как определять переменное значение /по мере увеличения количества периодов владения, если наша кривая предпочтения полезности отличается от In х? Когда при изменении счета вы обновляете стоимость исходов (в ютилах) перед началом нового периода владения, вы получаете новое значение оптимального / Деля его на исход самого проигрышного сценария (в ютилах), вы получаете оптимальную величину/$ (также в ютилах) и определяете, сколькими контрактами торговать. Это совсем несложно: вы просто заменяете доллары на ютилы. Единственное, что еще необходимо, - это отслеживать общую величину счета в ютилах (вместо долларов). Заметьте, что если вы действуете таким образом и ваша функция предпочтения полезности отличается от In х, то в итоге вы действительно получаете изменяющиеся оптимальные / от одного периода владения к другому в долларовом выражении.

Например, если вновь обратиться к игре в монетку, которая предлагает нам два доллара за выпадение орла и отбирает один доллар за выпадение решки, то сколько нам следует ставить

на кон? Мы знаем, что если мы хотим максимизировать капитал в непрерывном режиме, в каждом следущем розыгрыше располагая теми же деньгами, что и в начале игры, то на каждый кон мы должны ставить 25% того, что можем. Это максимизировало бы не только капитал, но и полезность, если мы определим, что выигрыш двух долларов для нас в два раза ценнее, чем проигрыш одного доллара.

А что, если выигрыш двух долларов был бы для нас лишь в полтора раза ценнее проигрыша одного доллара? Для максимизации такой полезности мы сопоставляем проигрышному сценарию, то есть решкам, значение -1 (в ютилах), а выифышному сценарию, то есть орлам, - значение 1,5 (в ютилах). Определив оптимальное / применительно к измерению в ютилах, а не в долларах, получим, что оно равно 0,166666. Это означает, что для максимизации нашей средней геометрической полезности на каждый кон следует ставить по 16/з %. То есть, чтобы определить количество контрактов, нужно общую величину счета в ютилах разделить на 0,166666.

Далее мы можем преобразовать это значение в количество контрактов на долларовую величину счета и отсюда рассчитать то значение/(между нулем и единицей), которое мы действительно используем (в долларах, а не в ютилах).

Проделав это, мы сможем применить к этой задаче все ту же кривую оптимизации капитала для игры в монетку «два-к-одному», имеющей вершину при/= 0,25 (рис. 1.2), но в данном случае абсцисса ее пика будет равна 0,166666. В долларовом выражении негативные последствия субоптимальности нашей позиции будут по-прежнему зависеть от /= 0,25. Однако кривая полезности достигает вершины при /= 0,166666, где мы и находимся. Заметьте, что если бы мы расположились на этой кривой в точке с абсциссой 0,25, то оказались бы много правее ее вершины и оплачивали бы соответствующие издержки в единицах полезности.

Предположим теперь, что в данном периоде владения нам повезло и мы собираемся продолжить игру, обновляя исходы сценариев в ютилах. На этот раз у нас больше денег, поэтому полезность выигрышного сценария в следующем периоде владения понизится до 1,4 ютила. Мы вновь рассчитываем наше оп-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]