Optimal f

f which maximizes

EACG

1 2 3 4 5 6 7 8

Number of HPRs

Рис. 2.3. Оптимальное / в качестве горизонтальной асимптоты.

Чтобы убедиться в сказанном, продолжим нашу орлянку «два-к-одному». На графике (рис. 2.3) показаны значения /, которые максимизируют наш ожидаемый средний общий рост при остановке после 1-8 конов. Обратите внимание, что они приближается к оптимальному значению 0,25, которое асимптотически максимизирует рост при стремлении количества периодов владения к бесконечности.

Орлянка «два-к-одному»

Остановка после HPR № Значение/, максимизирующее EACG

бесконечность

0,25 (оптимальное значение f)

В реальности, если мы торгуем при значении /, которое в этой книге называется оптимальным, тем не менее, мы останемся немного субоптимальны, и степень этой субоптимальности будет уменьшаться по мере того, как будет проходить все больше и больше периодов владения. Если бы мы точно знали, сколько периодов владения будем торговать, то могли бы использовать то значение /, которое максимизирует EACG и действительно оптимально для этого количества владений (оно было бы несколько больше оптимального f). К сожалению, мы редко с определенностью можем сказать, сколько периодов владения будем торговать, поэтому остается утешаться тем фактом, что оптимальное / приближается к оптимальному значению для максимизации EACG по мере истечения все большего количества периодов

2.То /, которое оптимально в смысле максимизации EACG, является функцией от длины игры. Для игр с положительным математическим ожиданием оно изменяется от 1,0, максимизирующего среднее арифметическое HPR, немного уменьшаясь с каждым коном, и асимптотически приближается к такому значению, которое максимизирует среднее геометрическое HPR (это значение мы будем далее называть оптимальным f).

3.Поскольку длина всякого потока конечна, то наша торговля на основе оптимального / всегда будет слегка субоптимальной, независимо от того, как долго мы торгуем. Однако различие с каждым периодом владения будет уменьшаться. В итоге мы окажемся слева от вершины, положение на которой действительно оптимально. Это ни в коей мере не отрицает всего сказанного об (л + 1)-мерного изображения в пространстве рычагов (недостатки и преимущества положения рыночной системы относительно своего оптимального f). Но само это изображение зависит от количества периодов владения, на котором мы останавливаемся. По мере удлинения игры она асимптотически приближается к действительно оптимальной поверхности, которую мы выстраиваем с помощью приемов, излагаемых в книге.

владения. В заключительной главе этой книги мы познакомимся с методами постоянного доминирования, которые позволят нам подойти к идее максимизации EACG в условиях разделения счета на активную и пассивную части (т. е. когда торговля ведется менее агрессивно, чем это рекомендуется оптимальным У).

Обратите внимание, что ни одна из этих идей не рассматривается или даже не упоминается в старых среднедисперсионных моделях по типу «риск-прибыль». Старые модели почти полностью игнорируют фактор финансового рычага и последствия его применения, что еще раз указывает на предпочтительность нашего нового подхода.

Теория полезности

Вопрос о теории полезности поднимается в книге из-за того, что сторонников максимизации среднего геометрического часто критикуют за то, что они способны максимизировать лишь случай логарифмической (In х) полезности. То есть они стремятся максимизировать только богатство, а не удовлетворенность инвестора. В этой книге мы попытаемся показать, что максимизацию среднего геометрического можно применять при любой функции полезности. Поэтому теперь нам придется обсудить теорию полезности в общем плане, на уровне основных понятий.

Теорию полезности часто критикуют за то, что она трактует поведение инвестора в отрыве от практики. К сожалению, большинство этих нападок исходит от людей, принявших априорное предположение, что все функции полезности инвестора являются логарифмическими, то есть что они нацелены на максимизацию капитала. Не являясь большим сторонником теории полезности, я принимаю ее из-за отсутствия лучшего объяснения предпочтений инвестора. Вместе с тем, я твердо убежден, что если функция полезности инвестора отличается от In х, то на рынках и в инвестировании в целом ему не место - ваше поло-

женив на (п + 1)-мерного изображения, которую мы обсудили в гааве 1, не зависит от вашей кривой предпочтения, и когда оно неудачно, вы расплачиваетесь за это реальными деньгами. Короче говоря, рынки - это не подходящее место для тех, кто не стремится максимизировать свой капитал. Возможно, куда комфортнее им было бы на приеме у психиатра.

Теорема ожидаемой полезности

Некто в аэропорте имеет 500 долл., но ему нужно 600 долл., чтобы купить билет, который ему необходим. Ему предлагается пари, где он с вероятностью 50% выигрывает 100 долл. и с вероятностью 50% проигрывает 500 долл. Благоприятен ли такой расклад? В данном случае, когда иметь билет жизненно необходимо, этот расклад является хорошим.

В данном случае математическое ожидание полезности значительно отличается от математического ожидания прибыли. Когда мы следуем теории полезности, мы определяем благоприятность пари на основе математического ожидания полезности, а не прибыли. Значит, в данном случае математическое ожидание полезности положительно, хотя, с точки зрения прибыли, это не так. В рамках дальнейшего обсуждения мы будем трактовать понятия полезности и удовлетворенности одинаковым образом.

Итак, у нас есть теорема ожидаемой полезности, которая гласит, что инвесторы располагают функцией полезности капитала Щх), где х - капитал, который они стремятся максимизировать. То есть инвесторы предпочитают такие инвестиционные решения, которые максимизируют их функцию полезности капитала. Лишь тогда, когда функция полезности U(x) = In х, то есть когда полезность, или удовлетворение, капитала совпадает с самим капиталом, теорема ожидаемой полезности приведет к тому же выбору, что и максимизация капитала.

8 - 9727

Свойства функций полезности

Функции полезности имеют пять основных свойств:

Функции полезности инвариантны относительно положительных линейных преобразований. Так, функция предпочтения полезности In х, приведет к выбору тех же инвестиций, что и функции полезности 25 + /и х, 7 * In х или (In х)/1,453456. То есть функция полезности, подвергнутая воздействию положительной константы (прибавлением, вычитанием, умножением или делением), приведет к выбору тех же самых инвестиций. Другими словами, она приведет к тому же набору инвестиций, максимизирующих полезность, что и до воздействия на нее положительной константой.

Большее предпочтительнее меньшего. В экономической литературе это часто называется ненасыщением. Другими словами, функция полезности никогда не приведет к предпочтению меньшего капитала большему при достоверных исходах или равенстве их вероятностей. Поскольку при росте капитала должна расти и полезность, то первая производная от полезности как функции капитала должна быть положительной. То есть:

и\х) >= О

[2.01]

Если полезность измерять по вертикальной оси, а капитал - по горизонтальной, то у кривой полезности никогда не будет отрицательного наклона.

Первой производной функции полезности In х будет х~К

3. Предполагается три возможных типа отношения инвестора к риску, называемых также нерасположенностью к риску. Он может либо уклоняться от риска, либо быть нейтральным к нему, либо жаждать риска. Все эти категории могут быть описаны в терминах справедливой азартной игры. Если взять справедливую игру, такую, как подкидьшание монеты, с выигрышем одного доллара на орлах и проигрышем

одного доллара на решках, то мы обнаружим, что математическое ожидание капитала равно нулю. Уклоняющийся от риска индивидуум отверг бы такое пари, тогда как жаждущий риска его бы принял. Инвестор, который нейтрален к риску, был бы индифферентен к этому пари.

Неприятие риска характеризуется второй производной функции предпочтения полезности U"{x). У индивидуума, уклоняющегося от риска, вторая производная отрицательна, у склонного к риску - положительна, а у нейтрального к риску - вторая производная функции предпочтения риска нулевая.

На рис. 2.4 изображены три основных типа функций предпочтения полезности в зависимости от U"(x), или степени неприятия риска инвестора. Функция предпочтения полезности, равная In X, демонстрирует нейтральное отношение к риску. Инвестор индифферентен к справедливой азартной игре*. Для логарифмической функции предпочтения полезности вторая производная будет равна -х"\

4. Четвертое свойство функций предпочтения полезности касается того, как изменяется степень неприятия риска инвестора при изменении капитала. При этом говорят об абсолютной величине нерасположенности к риску. Здесь вновь имеются три категории. К первой относятся индивидуумы, которые проявляют возрастающее абсолютное неприятие риска. По мере роста капитала они держат все меньше средств в рискованных активах. Следующими идут индивидуумы с постоянным абсолютным неприятием риска. С ростом капитала они сохраняют те же денежные вложения в рискованные активы. Последними идут те, кому свойственно понижение абсолютного неприятия риска. С ростом капитала они готовы держать больше денег в рискованных активах.

* Фактически, инвесторы должны отвергать справедливую азартную игру. Поскольку количество денег, с которыми может работать инвестор, конечно, это дает более низкая поглощающая граница. Можно показать, что если инвестор периодически принимает справедливую азартную игру, то это лишь вопрос времени, когда будет достигнута эта граница. То есть если вы не прекращаете участвовать в справедливых азартных играх, то в итоге вы разоритесь с вероятностью, приближающейся к достоверной.