назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]


16

А что будет, если выйти из игры после второго выбрасывания? Какой тогда должна быть оптимальная ставка, максимизирующая нащ ожидаемый средний общий итог, когда в одном случае мы играем при /= 1, и выходим из игры после первого кона, а в другом - играем при оптимальном /и продолжаем игру бесконечно долго?

Если мы вернемся назад и найдем оптимальное /, которое давало бы максимум среднего геометрического HPR за два первых кона в предположении, что при первом и втором выбрасываниях использовались различные значения /, то получим следующее. Во-первых, оптимальное/для выхода из этой игры после двух конов приближается к асимптотически оптимальному, меняя свое значение с 1,0 (выход после первого кона) на 0,5 для первого и второго кона. То есть если бы мы собирались выйти из игры после второго кона, то для максимизации роста нам следовало бы на оба кона, первый и второй, ставить по 0,5 счета. Напоминаю, что мы имеем право для первого и второго кона брать разные значения / Но в данном случае они оказываются одинаковыми: 0,5. Дело в том, что максимум роста для конечных и бесконечных потоков достигается на одном и том же оптимальном /

Мы можем убедиться в этом, если рассмотрим две первых возможных комбинации выбрасываний монеты:

№ выбрасывания

орел

решка

орел

решка орел

решка

Откуда, перейдя к исходам, получаем:

№ выбрасывания

-1 2

Эти исходы можно преобразовать в итоги периодов владения для различных значений / Ниже это сделано для /=0,5, как при первом, так и при втором выбрасывании монеты:

№ выбрасывания

0,5 2

Теперь мы можем выразить все выбрасывания, следующие за первым, в виде значений TWR с помощью умножения на последующие выбрасывания согласно дереву игры. Число в скобках, стоящее рядом с последней ветвью дерева - это корень степени п из последнего значения TWR (л равно количеству HPR, или выбрасываний, в данном случае - 2), который является средним геометрическим HPR для конечного узла дерева:

№ выбрасывания

4(2.0)

1(1,0) 1(1,0)

0,25 (0,5)



Если теперь сложить средние геометрические значения HPR и взять арифметическое среднее, то получим ожидаемый средний общий доход. В данном случае он будет равен:

2,0 1,0 1,0 0,5

4,5/4 = 1,125

Следовательно, если бы мы прекращали игру после двух конов, но делали бы это бесконечное количество раз (т. е. останавливались после двух конов), ставя на каждый кон без пропусков оптимальные 50% счета, то максимизировали бы тем самым наще EACG.

Обратите внимание, что ставка первого кона не соответствовала /= 1,0, хотя это оптимизировало бы ожидаемый средний общий рост, остановись мы после этого. Вместо этого, планируя остановиться после двух конов, мы максимизируем EACG, ставя на оба кона по 0,5 счета.

Заметьте, что оптимальное /, доставляющее максимум роста, одинаково для всех конов игры, хотя и является функцией того, как долго вы будете играть. Если вы собираетесь остановиться после первого кона, то оптимальное / максимизирует среднее арифметическое HPR (для игры с положительным математическим ожиданием это /всегда равно 1,0, а игры с отрицательным математическим ожиданием - 0,0). Для игры с положительным математическим ожиданием оптимальное/убывает по мере увеличения времени до остановки (асимптотически убывает для бесконечной ифы) и максимизирует среднее геометрическое HPR. Для игры с отрицательным математическим ожиданием оптимальное / всегда остается нулевым.

Однако в течение всей игры значение / которое вы используете для максимизации роста, остается постоянным, и эта постоянная величина зависит (функционально) от того, где вы собираетесь прекратить игру. Если вы играете в орлянку «два-к-одному» и собираетесь остановиться после первого кона, то получите максимальный рост при /= 1,0. Если вы собираетесь

остановиться, сыграв два кона, то получите максимальный рост при / = 0,5, как при первом, так и при втором выбрасывании. Заметьте, что, желая максимизировать EACG для остановки после второго кона, вы не ставите все свои деньги (1,0 счета) на первый кон. Аналогичным образом, планируя играть бесконечно долго, вы и на первый, и на все следующие выбрасывания будете ставить по 0,25 счета.

Обращаю ваще внимание на радикальное отличие понятий бесконечно и неограниченно. Все потоки конечны, всем нам суждено в конце концов умереть. Поэтому, когда мы говорим, что оптимальное / максимизирует ожидаемый средний общий итог, то имеем в виду такое / которое максимизирует его при бесконечной игре. На деле, оно слегка отличается от оптимального, ибо никто из нас не сможет играть бесконечно долго. То / которое даст максимум EACG, будет немного больще того, что мы называем оптимальным / а наши позиции - немного крупнее.

А что получится, если мы остановимся, сыграв три кона? Должно ли тогда / которое максимизирует ожидаемый средний общий рост, быть меньше 0,5 (остановка после двух конов), но все же больше оптимального / = 0,25 для бесконечной игры?

В этом случае наше дерево комбинаций будет следующим:

№ выбрасывания

орел

решка

орел

решка

орел

решка

орел

решка

орел

решка орел

решка

орел

решка



-1 2

Если мы обратимся к компьютеру и путем перебора найдем значение f, которое максимизирует средний общий рост при остановке после трех розыгрышей, то получим / = 0,37868. Преобразуя исходы в HPR при данном значении /, получим:

№ выбрасывания

1,757369

0,621316

1,757369

0,621316 1,757369

0,621316

1,757369

0,621316

1,757369

0,621316 1,757369

0,621316

1,757369

0,621316

Теперь мы можем выразить все выбрасывания, следующие за первым, в виде значений TWR с помощью умножения на последующие выбрасывания согласно дереву игры. Число в скобках, стоящее рядом с последним выбрасыванием дерева, - это корень степени и из последнего значения TWR (и равно количеству HPR, или выбрасываний, в данном случае - 2), который является средним геометрическим HPR для конечного узла дерева:

1,757369

0,621316

№ выбрасывания

3,088329

1,09188

1,091875

0,386036

5,427324

(1,757369)

1,918831

(1,242641)

1,918848

(1,242644)

0,678409

(0,87868)

1,918824

(1,242639)

0,678401

(0,878676)

0,678406

(0,878678)

0,239851

С0.621318)

8,742641 =1,09283 = EACG

Если вы хоть чуть сомневаетесь в полученных результатах, то я рекомендую вам перепроверить несколько последних выкладок с карандашом и бумагой или на компьютере и найти значения /, которые дадут EACG, больше представленного. Допустите возможность использования разных f, то есть, что / может меняться при каждом выбрасывании. Вы обнаружите, что ваши результаты совпадают с нашими и что величина / постоянна, хотя и зависит от длины игры.

Подводя итоги, приходим к следующим выводам:

1. Максимизируя ожидаемый средний общий рост (EACG), мы всегда приходим к постоянной величине / То есть величина / не меняется от кона к кону.

Преобразуя это дерево в исходы, получим: № выбрасывания

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42]