ное / равно 0,25, что эквивалентно одной ставке на каждые четыре долл. счета (/"$). Значит, как только происходит максимальный проифыш (в данном случае -1 долл.), наш счет сокра-шается на/%. То есть каждый проигрыш сокрашает наш счет на

Это верно не только для оптимального, но и для любого другого значения / Вновь вернемся к нашей игре в монетку, предположив теперь, что мы торгуем при f, равном 0,1, что эквивалентно одной ставке на каждые десять долл. счета. При максимальном проигрыше наш счет сократится на 10%. В этом проявляется великий парадокс: чем лучше система, тем больше сокрашение счета при проигрыше, ибо обычно ее используют на более высоких значениях /!

Казалось бы, в нашей орлянке «два-к-одному» мало что зависит от того, играем ли мы при /=0,1, или при оптимальном / = 0,25: после 40 конов в первом случае мы получим 366% дохода при проигрыше, как минимум, в 10%, а во втором -955% дохода при проигрыше, как минимум, в 25%. Это примерно одно и то же. Но если продлить игру до 100 конов, то ожидаемый минимум потерь останется тем же, а ожидаемый доход вырастет до 4590% при /= 0,1, против 36009% при / = 0,25. Ясно, что разница между коэффициентами ожидаемого прироста дохода и ожидаемого сокрашения счета при оптимальном / будет больше, чем при любом другом / и будет расти с увеличением числа разыгранных конов, или реализованных периодов владения.

Заметьте, что в зависимости от / ожидаемый минимум сокращения счета меняется арифметически, а доход меняется экспоненциально. То есть, мы можем утверждать, что, разжижая f(m.e. торгуя меньшим количеством, чем оптимальное), вы сокращаете потери арифметически и одновременно экспоненциально сокращаете прибыль. Смещение вправо от вершины сокращает лишь прибыль (опять экспоненциально), но арифметически увеличивает минимальные ожидаемые потери (в процентах сокращения счета).

Теперь обратимся к некоторым заблуждениям, касающимся диверсификации. Реальная польза диверсификации состоит не в том, что она обеспечивает безопасность, как ошибочно (и под-

сознательно) полагают некоторые. В математической форме эффект от диверсификации выражает фундаментальное уравнение торговли. Диверсификация позволяет увеличивать Тза данный период времени. То есть она предусматривает больший рост за данный период времени, но не дает дополнительной безопасности.

Более того, с помощью диверсифицикации вы увеличиваете размерность поверхности, делая ее еще более хрупкой и склонной к разрушению. Безотносительно к тому, сколько компонентов содержит портфель, когда-то наступит такой период, который будет плохим для всех них одновременно. Поэтому добавление новых компонентов может сгладить кривую изменения счета (тем самым создавая обманчивое ощущение безопасности), но зачастую одновременно увеличит потери наихудшего исхода!

Другое расхожее заблуждение состоит в том, что будто бы увеличение числа компонентов портфеля снижает его эффективность, или что в пределе выгода от увеличения числа компонентов убывает, то есть достигает некоторой асимптоты. Это не так: кривая зависимости между этими факторами отличается от логарифмической и, скорее всего, представляет собой прямую линию, поднимающуюся снизу вверх и слева направо, ибо с помощью диверсификации мы достигаем только увеличения Т. Всякий прирост Г соответствующим образом увеличивает прирост счета, который не имеет асимптот.

Следующий шаг

Основной недостаток формул [1.05-1.07] заключается в том, что они предполагают одинаковую вероятность реализации всех HPR. Поэтому нужна новая формула, которая допускала бы, чтобы с разными HPR ассоциировались различные вероятности. Такая формула позволила бы находить оптимальное/при условии, что дано описание распределение вероятностей HPR.

В 1992 г. я опубликовал набор формул, которые именно это и обеспечивали:

[1.20],

где:

А - исход сценария; Р - вероятность сценария; W - худший исход всех п сценариев; /- тестируемое значение /

Откуда получаем относительный конечный капитал, или TWR*:

TWR =

[1.21]

Наконец, если взять корень степени Y. из уравнения [1.21], то получим средний прирост на игру, или среднее геометрическое HPR (оно будет играть важную роль в дальнейшем):

0 = Тт1

[1.22]

-(П((-(,))Г,

* В этой формулировке, в отличие от формулировок 1990 г., TWR не имеет самостоятельного значения. В данном случае это просто промежуточная величина, которая используется для отыскания С и не представляет собой коэффициент увеличения начального капитала.

где:

Т - количество различных сценариев; TWR - относительный конечный капитал; HPR,.- доход от периода владения г-го сценария; А. - исход г-го сценария; Р.- вероятность г-го сценария; W - худший исход всех п сценариев; /- тестируемое значение /

Точно так же, как вы могли пользоваться выражениями [1.04] для решения уравнений [1.03], уравнение [1.22] можно использовать для решения лкых проблем с оптимальным / Вместо формул [1.03-1.07] вы можете взять [1.22]. Для данных с распределением Бернулли это уравнение дает те же результаты, что и формулы Келли. Вы получите те же результаты, как и по формулам 1990 г., если подставите это распределение сделок (где вероятность каждой сделки равна 1/7) в [1.22]. Эту формулу можно использовать для максимизации ожидаемого значения логарифма любого начального количества чего угодно в условиях экспоненциального роста. Теперь посмотрим, как использовать эту формулу в контексте сценарного планирования.

Сценарное планирование

Все, кто зарабатывает прогнозированием, будь то экономисты, аналитики рынка акций, метеорологи, госслужашие и т. д., неизбежно когда-то ошибаются. Но от этого никуда не уйти, ибо большинство решений, которые должны приниматься человеком в жизни, обычно требуют от него прогноза будущего.

Наше прогнозирование страдает как минимум двумя очевидными недостатками. Начнем с того, что человеку свойственно делать более оптимистичные предположения о будущих событиях,

чем их реальные вероятности. Большинство людей считает, что у них есть куда больше шансов выиграть в лотерею в этом месяце, чем погибнуть в автокатастрофе, хотя вероятность последнего выше. Это справедливо не только в отношении отдельных лиц, но еше более выражено на групповом уровне. Работая вместе, люди склонны считать благоприятные исходы более вероятными.

Второй, и еше более пагубный недостаток, состоит в том, что люди прогнозируют будущее прямолинейно. Они предсказывают, какой будет цена галлона бензина двумя годами позже, что будет с их работой, кто будет следующим президентом, какими будут моды и так далее, и так далее. Задумываясь о будущем, мы склонны рассматривать его как единственный наиболее вероятный исход. В результате, как только нужно принять решение и на индивидуальном, и на групповом уровне, мы склонны опираться на то, что, по нашему мнению, будет единственным наиболее вероятным исходом в будущем. Вследствие этого, мы становимся беззащитными перед неприятными сюрпризами.

Сценарное планирование дает частичное решение этих проблем. Сценарий представляет собой один из возможных прогнозов, описание одного из путей, которым могут пойти события в будущем. Сценарное планирование нацелено на составление набора сценариев, покрывающего определенный спектр возможностей. Разумеется, охватить весь спектр возможностей нереально, поэтому планировщик сценариев желает учесть их по максимуму. Действуя таким образом, в отличие от линейного прогнозирования наиболее вероятного исхода, планировщик сценария может приспосабливаться к будущим событиям, куда бы они ни повернули. Более того, сценарное планирование позволяет планировщику подготовиться к тому, что в ином случае стало бы неожиданностью. Сценарное планирование согласуется с реальной жизнью, ибо оно исходит из иллюзорности нашего детерминизма.

Предположим, что в ваши обязанности входит участие в долгосрочном планировании для вашей компании, которая производит какой-то конкретный продукт. Вместо того чтобы положиться на единственный наиболее вероятный линейный прогноз, вы решаете заняться сценарным планированием. Вы усаживаетесь вместе с другими планировщиками и методом «мозговой атаки» принимаетесь вырабатывать возможные сценарии. Что, если у вас не

хватит сырья для производства вашего продукта? Что, если одного из ваших конкурентов постигнет неудача? Что, если появится новый конкурент? Что, если вы серьезно недооцените спрос на ваш продукт? Что, если на каком-либо континенте разгорится война? И что, если она будет ядерной?

Поскольку каждый сценарий представляет лишь одну из возможностей, его можно основательно проработать. Но что делать после того, как вы проделали это для всех своих сценариев?

Для начала вы должны определить, какую цель вы хотели бы достичь в каждом из сценариев. Эта цель зависит от сценария и не обязана быть прогрессивной. Например, при негативном сценарии ваша цель может состоять просто в поддержании живучести компании. Определившись с целью по каждому сценарию, вы должны будуте выработать планы достижения вашей цели в случае реализации данного сценария. Например, на случай маловероятного негативного сценария, когда ваша цель - остаться на плаву, нужно иметь планы, позволяющие минимизировать ущерб. Главное преимушество сценарного планирования состоит в том, что оно вооружает вас конкретным образом действий на случай определенного развития событий. Оно принуждает вас к составлению планов до того, как произойдут те или иные события, заставляет подготовиться к неожиданностям.

Впрочем, сценарное планирование позволяет добиться много большего. Оно тесно взаимосвязано с оптимальным / что дает возможность оптимально распределять инвестиции между компонентами сценарного набора. Хотя мы и закладываемся на многовариантное развитие событий в будущем, жизнь всегда выбирает какой-то один сценарий. Поэтому при сценарном планировании нам нередко приходится согласовывать текущее инвестирование с возможными сценариями завтрашнего дня. В этом проявляется подлинная суть сценарного планирования - его нацеленность на количественное осмысление будущего.

Прежде всего, мы должны описать каждый сценарий по отдельности. Затем мы должны сопоставить ему вероятность его реализации. Вероятность - это число между О и 1. Нам не нужно рассматривать такие сценарии, вероятность реализации которых равна 0. Кроме того, сопоставляемые вероятности не носят интегрального характера. Другими словами, каждому сценарию от-