назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [ 115 ] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]


115

где n(x)=-,

dl = [ln(S/K) + (r + (j42) X T] / [aX VT ]; d2 = dl -axVT

В условиях задачи :

dl = [ln(40/45) + (0,06 + 0,16/2) X 0,25] / [0,4 X 0,5] = = [-0,118 + 0,035] / [0,2] = -0,42 n(dl) = e-»™2/0,366 d2 = -0,42 - 0,4 X 0,5 = -0,62

N(d2) = N(-0,62) = 1 - N(0,62) = 1 - 0,7291 = 0,2709

Theta = -1 ООО X [(40 X 0,366 X 0,4) / 2 X0,5 + 0,06 X 45 X X £-"•»« "-s X 0,2709] = -1 ООО X [5,856 + 0,72] = -6 576

TiKHM образом, за день при условии неизменности рыночных параметров стоимость позиции уменьшится HaTheta/365 = $18.

5) Поскольку инвестор продал опционы, а гамма позиции в акциях нулевая, то общая гамма портфеля будет отрицательной, и значит сильные изменения цены акции в любую сторону увеличат стоимость портфеля.

3)Задача эквивалентна построению дельта-нейтрального портфеля. Дельта опционной позиции инвестора равна

delta = -етх N(dl) X N,

где d 1 = [ln(S/K) + (г - q + &Ч2) X Т] / [аХ VT ]

В условиях задачи :

dl = [1п(50/60) + (0,07 - 0,05 + 0,36/2) X 0,25] / [0,6 Х 0,5] = = [-0,182 + 0,2 X 0,25] / [0,3] = -0,13 N(dl) = N(-0,13) = 1 - N(0,13) = 1 - 0,5517 = 0,4483 delta = -е-»»- « х 0,4483 X 1 ООО = -443

Следовательно, чтобы дельта портфеля оказалась нулевой, инвестору необходимо приобрести на рынке 443 акции.

4)Тета позиции инвестора равна

theta = -N X [(S X n(dl) Xa)/2xVT+rXKX е- X N(d2)],



Американские опционы. Опционы на фьючерсы, валюты, сырье, акции и облигации

1. Опционы американского стиля

в отличие от европейского опциона, который может быть исполнен лишь в конце своего срока действия, американский опцион может быть исполнен в любой момент на протяжении этого срока.

Один из способов оценки американских опционов заключается в использовании для этого биномиальных деревьев. Рассмотрим метод на примере вычисления цены американского кол-опциона на бездивидендную акцию.

Период действия опциона разобьем на малые отрезки времени длины dT Предположим, что на каждом таком отрезке цена акции может от своего начального значения S либо с вероятностью р вырасти до Su, и>1, либо с вероятностью 1 - р упасть до Sd, d<l. Предположим также, что и=1 / d, т.е. последовательные движения цены акции сперва вверх, а затем вниз компенсируют друг друга.

Значения пир определяются из вероятностных соображений. В модели Блэка-Шолца цена акции в момент времени t -I- dT S(t -I- dT) есть логнормальная случайная величина с параметрами (InS + (г - 2) X dT, ах VdT ). где S - цена акции в момент t. Исходя из этого можно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины S(t -I- dT), которые оказываются равными S X е" и X е2-хйТ(е""- 1) соответственно.

В рассматриваемой нами модели S(t-l-dT) представляет собой дискретную случайную величину, с вероятностью р равную Su и с вероятностью 1 - р равную Sd (ее математическое ожидание есть pSu (1 - p)Sd, а дисперсия pSV-b [(1 - p)S4- S\pu + {I - p)d)]. Чтобы такое приближение было наиболее точным, нужно, чтобы у этих



Suuu

Suud-Su

Suclcl=Scl

Sddd

2xdT

3xdT

время

двух случайных величин - дискретной и логнормальной совпадали математические ожидания и дисперсии. В таком случае для и, р и d с большой степенью точности выполняются равенства

u=l/d=e"

Зная значения и и d, можно построить дерево, описывающее возможную динамику цены акции на период действия опциона.

В нулевой вершине стоит цена акции в начальный момент времени - S, i-ый ярус дерева соответствует моменту времени i X dT и содержит i+l возможную цену акции в этот момент S X Ы X d"J , j = 0..i. Для вычисления цены опциона осуществляется процедура «спуска» по дереву от последнего яруса к нулевому, т.е. от момента исполнения к начальному моменту времени.

В вершинах последнего яруса записаны цены акции в момент исполнения опциона, из которых легко получить стоимость опциона в момент исполнения по формуле max[(S(T) - К)]. Зная цену опциона на (s + 1)-ом ярусе, можно найти его цену на s-om ярусе, т.е. в предыдущий момент времени. Продемонстрируем это на примере.

Пусть уже вычислена цена опциона в точках Suu и Sud - X и Y соответственно. В точке Su у покупателя опциона есть две возможности: либо немедленно исполнить опцион и получить прибыль A=max(Su - К,0), либо не исполнять его, и тогда через время dT с вероятностью р он будет стоить X и с вероятностью (1 - р) - Y, а значит дисконтированная на текущий момент времени средняя ожидаемая стоимость есть В=е"" X (р X Х+{1 - р) X Y). Поскольку покупатель опциона стремится максимизировать свою прибыль, он, разумеется, выберет наиболее выгодный из этих вариантов, поэтому цена опциона в точке Su будет равна тах(А,В).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [ 115 ] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]