назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [ 113 ] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]


113

.9893

.9896

.9898

.9901

.9904

.9906

.9909

.9911

.9913

.9916

.9918

.9920

.9922

.9925

.9927

.9929

.9931

.9932

.9934

.9936

.9938

.9940

.9941

.9943

.9945

.9946

.9948

.9949

.9951

.9952

.9953

.9955

.9956

.9957

.9959

.9960

.9961

.9962

.9963

.9964

.9965

.9966

.9967

.9968

.9969

.9970

.9971

.9972

.9973

.9974

.9974

.9975

.9976

.9977

.9977

.9978

.9979

.9979

.9980

.9981

.9981

.9982

.9982

.9983

.9984

.9984

.9985

.9985

.9986

.9986

.9987

.9987

.9987

.9988

.9988

.9989

.9989

.9989

.9990

.9990

.9990

.9991

.9991

.9991

.9992

.9992

.9992

.9992

.9993

.9993

.9993

.9993

.9994

.9994

.9994

.9994

.9994

.9995

.9995

.9995

.9995

.9995

.9995

.9996

.9996

.9996

.9996

.9996

.9996

.9997

.9997

.9997

.9997

.9997

.9997

.9997

.9997

.9997

.9997

.9998

ОТВЕТЫ

1) Сначала рассмотрим опцион с ценой исполнения $40. Вероятное! ь его исполнения равна N(d2). d2 = [ln(S / К) + (г - q - аЧ2.) х Т] / [ст х VT] = = [1п(50 / 40) + (0,07 - 0,05 - 0,36 / 2) х 0,25] / [0,6 х 0,5] = = [0,223-0,04]/[0,3] = 0,61 N(d2) = N(0,61) = 0,7291.

Для К = $60 имеем:

d2 = [ln(S / К) + (г - q - ст2/2) x Т] / [ст x VT] = = [1п(50 / 60) + (0,07 - 0,05 - 0,36 / 2) х 0,25] / [0,6 х 0,5] = = [- 0,182 - 0,04] / [0,3] = - 0,74

N(d2) = N(- 0,74) = 0,2296.

2)В случае исполнения огщионов инвестор должен будет потратить 5 x $60 = $300 на покупку акций. В случае неисполнения опционов :}атраты инвестора равны 0. Средние затраты АС (average costs) будут равны затратам на исполнение, умноженным на вероятность исполнения опционов.

АС = 300 x N(d2).

В данной :)адаче:

.S = 50;

К = 60;

г = 8% = 0,08;

ст = 70% = 0,7;

Т = 0,5.

d2 = [ln(S / К) + (г - и42.) x Т] / [ст x VT] =

= [1п(50/60) + (0,08 - 0,49/2) х 0,5] / [0,7 х 0,707] =

= [-0,182 - 0,083] / [0,495] = -0,54

N(d2) = N(-0,54) = 1 - N(0,54) = 0,2946

АС = 300 x 0,2946 = 88,38

3)Из паритета пут-кол Р = С -I- К х е"" - S = 5 -I- 49 х е"""- 50 = = 5-f 48,39- 50 = 3,39



«Греки» - параметры, используемые в управлении портфелем

«греки» (greeks) - производные цены опциона - играют большую роль в теории управления портфелями, состоящими из опционов и акций.

Ниже приведены формулы производных («греков») и объясняется их смысл. Рассмотрен кол-опцион на акции, по которым непрерывно начисляется дивиденд по ставке q. Аналогичные формулы для валютных и фьючерсных опционов могут быть получены путем замены q на, соответственно, ставку доходности в валюте или ставку безрисковой доходности.

1. Дельта

Дельта (Delta) - производная цены опциона по текущему курсу акций. Она показывает, как изменится стоимость опциона при изменении цены акции на 1 единицу (один рубль, один доллар и т.д.):

delta = dC/dS.

Дельта измеряется в процентах и позволяет составлять портфель, не чувствительный к изменению курса актива при малом изменении цены акции. Такой портфель называют дельта-нейтральным. Например, он может состоять из проданных двух пятидесятидельтовых колов и купленной акции (2 опциона х 50%) = 1 акция. Здесь 1 акция страхует (хеджирует) 2 опциона от потерь.

Если цена акции поднимется на 1 руб., то цена двух опционов поднимется также на 1 руб. (1 руб. х 2 х 50%). Поскольку колы были проданы, вапш потери составят 1 руб. Но потери будут компенсированы заработком на одной акции, которая подорожает на 1 руб. В итоге стоимость портфеля не изменится.



Дельта широко используется маркет-мейкерами. Она позволяет покупать или продавать опционные позиции и немедленно хеджировать эти позиции на рынке базового актива.

Для дельты верна следующая формула:

delta = еп x N(dl)

2.Тета

Тета (theta) - производная цены огщиона по времени. Она показывает, как цена опциона меняется с течением времени. Для европейского опциона ее значение всегда меньше нуля. Формула theta имеет вид:

theta = elx [(-1) х S х n(dl) х а / (2VT) + q х S х N(dl)] -г x К x N(d2) x eT"

Здесь п(х) = ехр{(-1) х xV 2) / V(2n) - плотность стандартного нормального распределения. Отсюда видно:

•чем выше ставка q и ниже ставка г, тем меньше падает цена опциона с каждым прошедшим днем;

•чем выше волатильность, тем больше падает цена опциона с каждым прошедшим днем.

Тета - очень важный показатель. Она выражает стоимость держания опционной позиции. Инвесторы, держащие опционную позицию в ожидании благоприятного движения цены основного актива, каждый день теряют часть стоимости позиции. Поэтому они должны быть очень внимательны к величине теты.

3.Гамма

Гамма (gamma) - вторая производная цены опциона С по цене актива S. Если дельта - скорость автомобиля, то гамма - его ускорение.

Гамма предсказывает, насколько изменится дельта нри изменении S. Чем меньше гамма, тем дельта менее чувствительна к изменению цены. Вернемся к понятию дельта-нейтрального портфеля: он не чувствителен к изменению курса актива при малом изменении цены акции. Если же изменение больше «малого», необходимо некое изменение в размере хеджа (увеличение или уменьшение количества акций), чтобы портфель остался безрисковым.

Для гаммы справедлива следующая формула:

gamma = [n(dl) х el ] / [S х а х VT ]

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [ 113 ] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]