назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [ 112 ] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]


112

одинаковыми страйками должно либо принести одинаковую прибыль, либо не принести прибыли одновременно.

При условии безарбитражности рынка на текущий момент времени европейский опцион с одним и тем же страйком на обе акции стоит одинаково, и его цена может быть вычислена по формуле Блэка-Шолца для акции без дивидендов после подстановки в нее S, х еч вместо S.

Итак, С, - цена опциона кол на акцию с дивидендами имеет следующий вид:

С, = S, X elT X N(dl) - К X ех N(d2)

доходырасходы

Величины dl и d2 находятся из следующих равенств:

dl = [ln(S/K) + (r-q + (jV2) X T] / [ст X Vt ]

d2 = [ln(S,/K) + (r - q - (тУ2) xT]/[CTXA/T] = dl-CTxVT

4. Цена опциона пут. Формула паритета пут/кол

Пока мы рассматривали только опцион кол. Теперь перейдем к рассмотрению опциона пут. Владелец опциона пут имеет право в определенный момент времени продать актив по заранее оговоренной цене. Как и в случае опциона кол, владелец может не исполнять опцион, если его исполнение для него невыгодно.

При расчете премии, выплачиваемой по опциону пут на акцию без дивидендов, можно использовать формулу паритета пут/кол (put/call parity). Эта формула описывает зависимость между величинами премии по опционам пут и кол на один и тот же базовый актив, имеющим одинаковый страйк К и время до исполнения Т.

Для вывода зависимости рассмотрим два портфеля.

Первый состоит из одного опциона кол и К х е"" долларов, которые мы вкладываем под процент г на время Т.

Второй состоит из одного опциона пут и одной акции.

Рассмотрим стоимость портфелей в момент исполнения опционов при разных значениях цены на акцию в тот момент времени S.

Первый портфель:

S(T) > К

в этом случае после исполнения опциона мы получим прибыль S(T) - К, а вложенные в начале периода К х е"" долларов вырастут до К долларов. Следовательно, стоимость портфеля равна

S(T) - К К = S(T) S(T) < К

В этом случае исполнение опциона невыгодно. Следовательно, стоимость портфеля равна стоимости денег, то есть К.



S(T) = к

в этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = К

Второй портфель:

S(T) > К

в этом случае продажа акции по цене К невыгодна, так как текущая цена выше. Стоимость портфеля равна стоимости одной акции, то есть S.

S(T) < К

В этом случае мы исполняем опцион и продаем акцию по цене К, которая выше текущего курса. Стоимость портфеля равна К.

S(T) = К

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = К

Нетрудно заметить, что в момент исполнения опционов оба портфеля имеют одинаковую стоимость при любом значении цены акции. Условие безарбитражности рынка позволяет сделать вывод, что и в данный момент оба портфеля должны стоить одинаково, то есть

С -f- К X е = Р -f- S

Здесь

S - текущая цена акции;

К - цена исполнения опционов;

С - стоимость опциона кол;

Р - стоимость опциона пут. Полученное равенство называется формулой паритета кол/пут. Исходя из нее, получаем, что цена опциона пут на акцию без дивидендов равна:

Р = К X е- X N(-d2) -Sx N(-dl),

где dl и d2 такие же, как в формуле для цены опциона кол на акцию без дивидендов.

Если на акцию начисляются дивиденды по ставке q, то цена опциона пут равна:

Р, = К X е-т X N(-d2) - Sx e-iT X N(-dl),

где dl и d2 такие же, как в формуле для цены опциона кол на акцию с непрерывно начисляемыми дивидендами.



ВОПРОСЫ

1)Рассматривается акция, по которой непрерывно начисляется дивиденд по ставке q = 5%. Текущая цена акции $50, волатильность 60%, непрерывно начисляется безрисковая ставка 7%. Найдите вероятность исполнения трехмесячного европейского опциона кол на эту акцию в случаях, когда цена исполнения составляет $40 и $60.

2)Инвестор приобрел 5 полугодовых европейских опционов кол на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Определите средние затраты инвестора по исполнению опциона кол, если известны следующие данные:

•цена акции в настоящий момент $50;

•цена исполнения опционов $60;

•волатильность акции и безрисковая ставка на следующие полгода равны 70% и 8% соответственно.

3)Рассмотрим трехмесячный опцион кол на акции без дивидендов. Текущая цена акции $50, цена страйк $49, безрисковая ставка - 5%. Сколько стоит трехмесячный опцион пут на эту акцию с таким же значением страйк, если опцион кол стоит $5?

Таблица значений функции N(x)

Чтобы найти значение N(1.17), ищем строчку, отмеченную «1.1», и столбец, отмеченный «0.07». Искомое значение (0.8790) находится на

пересечении.

Для значений х

<0:

N(x) =

1 -N(

-X).

.5000

.5040

.5080

.5120

.5160

.5190

.5239

.5279

.5319

.5359

.5398

.5438

.5478

.5517

.5557

.5596

.5636

.5675

.5714

.5753

.5793

.5832

.5871

.5910

.5948

.5987

.6026

.6064

.6103

.6141

.6179

.6217

.6255

.6293

.6331

.6368

.6406

.6443

.6480

.6517

.6554

.6591

.6628

.6664

.6700

.6736

.6772

.6808

.6844

.6879

.6915

.6950

.6985

.7019

.7054

.7088

.7123

.7157

.7190

.7224

.7257

.7291

.7324

.7357

.7389

.7422

.7454

.7486

.7517

.7549

.7580

.7611

.7642

.7673

.7704

.7734

.7764

.7794

.7823

.7852

.7881

.7910

.7939

.7969

.7995

.8023

.8051

.8078

.8106

.8133

.8159

.8186

.8212

.8238

.8264

.8289

.8315

.8340

.8365

.8389

.8413

.8438

.8461

.8485

.8508

.8513

.8554

.8577

.8529

.8621

.8643

.8665

.8686

.8708

.8729

.8749

.8770

.8790

.8810

.8830

.8849

.8869

.8888

.8907

.8925

.8944

.8962

.8980

.8997

.9015

.9032

.9049

.9066

.9082

.9099

.9115

.9131

.9147

.9162

.9177

.9192

.9207

.9222

.9236

.9251

.9265

.9279

.9292

.9306

.9319

.9332

.9345

.9357

.9370

.9382

.9394

.9406

.9418

.9429

.9441

.9452

.9463

.9474

.9484

.9495

.9505

.9515

.9525

.9535

.9545

.9554

.9564

.9573

.9582

.9591

.9599

.9608

.9616

.9625

.9633

.9641

.9649

.9656

.9664

.9671

.9678

.9686

.9693

.9699

.9706

.9713

.9719

.9726

.9732

.9738

.9744

.9750

.9756

.9761

.9767

.9772

.9778

.9783

.9788

.9793

.9798

.9803

.9808

.9812

.9817

.9821

.9826

.9830

.9834

.9838

.9842

.9846

.9850

.9854

.9857

.9861

.9864

.9868

.9871

.9875

.9878

.9881

.9884

.9887

.9890

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [ 112 ] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]