назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [ 110 ] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]


110

Приложение А

Моделирование

Этот материал написан под редакцией автора сотрудниками комнании eGAR Technology па основе следующих статей и собственных разработок компании:

1.Fisher Black and М. S. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journa/ of Political Economy, 7:-54, 1973.

2.Robert C. Merton.The theory of rational option pricing. Bell Journal, 4: -18.S, 197.S.

3.Fisher Black. The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics, 3:-79, 1976.

4.J. Cox, S. Ross, and M. Rubinstein. Option pricing: A sitnplified approach. Joiirn«/ oj Financial Economics, 7: -263, 1979.

5.M. B. Carman and S. W. Kohlhagen. Foreign currency option values. Journal of International Money and Finance, 2:-37, 1983.



Математические

модели, лежащие в основе опционов

Ознакомившись с формулами, на основании которых оцениваются опционы и управляются опционные позиции, читатель приобретет психологическую уверенность, поскольку отсутствие пробелов в знаниях поможет избежать грубых ошибок в торговле. Но работа на финансовых рынках - это искусство, которое складывается из многих компонентов, лишь одним из которых является знание финансовой математики. Поэтому, хотя психологически важно ознакомиться с формулами, на которых базируются опционы, большинство практиков согласится, что знание формул не является необходимой составляющей успеха.

1. Базовые понятия. Выведение формулы опциона кол

Начнем с рассмотрения стандартного европейского опциона кол (call). Это контракт, дающий владельцу право в определенный момент времени купить определенный актив по определенной цене (цене исполнения).

Опционный контракт является правом, но не обязательством для его владельца. Поэтому, если владелец опциона считает, что исполнение опциона по оговоренной в контракте цене убыточно для него, он может контракт не исполнять. В этом случае не исполненный опционный контракт истечет.

Цену опциона (С) в настоящий момент определяют:

Т - время, оставшееся до исполнения опциона (time to maturity);

S - цена спот актива в настоящий момент (spot price);

К - цена исполнения опциона или страйк (strike);

г - непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка; (continuously compounded risk-free rate);



Вначале рассмотрим акции без начисления дивидендов.

Пусть содовая волатильность сг некоторой акции AAA равна 20%, ее стоимость сегодня равна $100. На основе этих данных можно спрогнозировать, что, с вероятностью 0,66, через один год цена акции окажется в промежутке $100 X (1 - 0,2) -$100 X (1 + 0,2) или $80-120, Можно прогнозировать и поведение цены акции через другие промежутки времени. Для этого надо определить волатильность акции на этот промежуток. Например, (Т,= (Тх V3 месяца/1 год = (ТX V0,25 - аХ 0,5 = 10%. Те через три месяца цена акции с вероятн<х;тью 0,66 окажется в ишервале $90-110.

S(T) - цена актива в момент исполнения опциона;

ст - волатильность (изменчивость) цены актива (volatility).

Рассмотрим эти параметры.

Единицей измерения времени (Т) является год. Если до исполнения опциона осталось D дней, то Т вычисляется по формуле:

Т = D / 365

Модель Блэка-Шолца была первой моделью для оценки опционов. Она использует в качестве базового актива акции. Модель предполагает, что в момент исполнения опциона цена актива является логнор-мальной случайной величиной, т.е. логарифм отношения цен актива в текущий момент и в момент исполнения опциона имеет нормальное распределение. Это предположение довольно точно описывает реальные данные и позволяет в текущий момент оценить стоимость актива в будущем. В частности, исходя из него можно найти среднее значение цены актива и вероятность д-хя нее подняться выше определенного уровня.

Для выведения формулы цены опциона Блэк, Шолц и Мертон вывели формулу стоимости акции. Она зависит от времени, оставшегося до исполнения опциона, цены базового актива в настоящий момент, непрерывно начисляемой безрисковой процентной ставки, а также еще одного параметра - волатильности актива.

ст - волатильность актива - параметр, характеризующий изменчивость цены актива.

Цена актива с большей волатильностью подвержена большим изменениям, нежели цена актива с меньшей волатильностью. В реальной жизни волатильность актива меняется в разные моменты времени, однако в данной модели мы считаем ее постоянной на протяжении всего срока действия опциона.

В момент исполнения опциона возможны две ситуации:

1)S(T) > К, т.е. цена базового актива выше цены исполнения - в таком случае прибыль от исполнения опциона равна S(T) - К [актив покупается по цене К, а затем немедленно продается по текущей цене S(T)].

2)S(T) К, т.е. цена базового актива ниже цены исполнения - тогда исполнять опцион не имеет смысла, поскольку не дороже будет ку-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [ 110 ] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123]