Рис. 3.3. Точечный аттрактор простейшей нелинейной системы

Такое изолированное положение равновесия нелинейной системы называется точечным аттрактором. Разумеется, если цена постоянно будет испытывать случайные изменения, точное равновесие никогда не будет достигнуто. На рис. 3.4 показана логистическая кривая для другого набора параметров: Cq = 1, Cj = -4, С2 = 4. ;

:j;.s ио.гU.4о.ьи.» ,4.

Рис. 3.4. Вид логистической кривой при с„ = 1, С; = -4, С2 = 4 . д,

В этом случае система будет обладать следующим свойством: какое бы начальное значение в интервале от О до 1 ни было взято, полученная в результате последовательность цен будет не сходящейся, а будет испытывать внешне случайные колебания без видимой пе-

риодичности и какого-либо окончательного предельного значения (рис. 3.5). Системы такого типа подробно описаны в литературе по хаотическим процессам.

Рис. 3.5. Внешне случайное поведение цены согласно логистическому отображению

Полученный хаотический ряд интересен тем, что, в отличие от случайного ряда, где значение р,, в принципе, нельзя определить, зная p, j, здесь все подчинено точным и детерминированным соотношениям. Более того, изменения цены в этой модели вызваны не «случайно» поступающей новой информацией, а нелинейностью самого рынка! Конечно, в действительности динамика рынка будет сложнее, чем здесь представлено, и адекватная модель должна учитывать также то, какое влияние на цены рынка оказывает вновь поступающая информация (в виде основных экзогенных факторов или в какой-то иной форме). Но и в этом случае логистическая модель образования цены может выдавать более или менее хаотические колебания цен.

Если система не стремится к положению равновесия, а все время совершает беспорядочные колебания (как в случае логистической модели с параметрами рис. 3.4), то говорят, что система имеет странный аттрактор (в отличие от рассмотренного ранее точечного аттрактора). Помимо этих двух крайних случаев, возможна ситуация, когда система совершает периодические движения вокруг некоторого равновесного состояния. У системы, таким образом, имеется целое семейство решений. Такое поведение называется предельным циклом. Для нашей логистической модели эта ситуация возникнет, если значения параметров Cj и С2 будут лежать в интервале от 2.5 до 3.75.

МОЖНО ли ПРЕДСКАЗЫВАТЬ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВО ВРЕМЕННОМ РЯДЕ ЦЕН?

Какие выводы позволяет сделать нелинейная динамика в отношении справедливости гипотезы эффективного рынка? Действительно ли в ценах рьшка учитывается вся относящаяся к делу информация, а колебания цен отражают случайный характер поступающих данных, или же в основе этих случайных колебаний лежат предсказуемое рассеяние информации и нелинейность динамики рынка? Возможно, связи между поступающей информацией и последующими изменениями цен не такие уж неопределенные, как это принято считать, и доля случайности в изменениях цен преувеличена. Эти выводы открывают возможность для (хотя бы частичного) предсказания будущих изменений цены.

Из сказанного следует также тот вывод, что, обнаружив новую закономерность, мы, вообще говоря, не сможем исключить ее влияние. Так, в нашей простой модели саморегулирующегося рынка причиной нелинейной обратной связи был ограниченный капитал. Если все участники рынка испытывают такие структурные ограничения, то они просто не смогут применять прибыльную тактику торговли, основанную на улучшенном прогнозе. Таким образом, закономерность во временном ряду цен сохранится, хотя при этом рынок будет эффективным в техническом смысле этого понятия.

Характер динамики рьшка связан с его формальными и неформальными установками, институциональным окружением, а также сложившейся практикой, предвзятыми мнениями, тенденциями и психологическими барьерами. Все это делает возможным существование (до поры скрытых и выглядящих как случайности) закономерностей в поведении рыночных цен, и эти закономерности, в принципе, можно предсказывать. Научные исследования выявляют все новые и новые закономерности такого рода. Интересный пример приведен в работе [86]. Ее авторы заметили, что рынок иностранных валют не любит спот-курсы, выраженные круглыми числами, например, курс обмена фунт стерлингов/доллар ровно в 1.5000. Исследование реальных рыночных курсов однозначно подтверждает эту закономерность, однако использовать эту «аномалию» непросто, так как даже если мы будем знать, что сделка по цене 1.5000 сулит прибыль, нам трудно будет найти партнера по сделке.

Перед тем, как обратиться к описанию экспериментов с нейронными сетями в распознавании скрытых закономерностей, мы хотели бы отметить, что знание природы хаотического процесса не позволяет существенно улучшить качество долгосрочных (многопериод-ных) прогнозов. Причина этого в том, что даже сравнительно не-

4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

t. ...

Рис. 3.6. Различное поведение временных рядов при почти дШиковык начальных значениях

НЕСКОЛЬКО НЕЙРОННО-СЕТЕВЫХ

ЭКСПЕРИМЕНТОВ С ЛОГИСТИЧЕСКИМИ ВРЕМЕННЫМИ РЯДАМИ

Идет ли речь об эффективности рынка или о каких-либо других закономерностях, в любом случае выявить регулярное поведение во внешне случайной последовательности цен - очень интересная задача для любого аналитика. В примере временного ряда цен, показанном на рис. 3.5, от исследователя потребуется определенная квалификация, чтобы суметь выделить совершенно четкую, хотя и скрытую, детерминированную закономерность. Савиту [237] принадлежит замечание, что структуру хаотических систем легче понять, рассматривая их в более высоких размерностях. К сожалению, такое многомерное пространство может быть выбрано бесконечным числом способов. Стандартный критерий Бокса-Дженкинса автокорре-

большие ошибки прогноза, полученные на первом этапе, будут в дальнейшем расти и приводить на последующих итерациях ко все большему расхождению истинного и прогнозируемого рядов.

Это явление ухудшения прогноза можно увидеть на рис. 3.6. Здесь в качестве приближения к «истинному» начальному значению 0.4 было взято значение 0.41. На первых шести шагах ряды ведут себя сходным образом, но затем начинают расходиться все больше и, в конце концов, становятся совершенно некоррелированными, так что близость их значений может быть лишь случайной.

ляции первого порядка предполагает линейность системы и не дает ключа к пониманию связей между и р,, видимых на диаграмме. То же самое относится и к таким более сложным методам анализа временных рядов, как ARIMA. Самое большее, что можно будет получить, - это то, что очень высокие и очень низкие цены (и, соответственно, большие прибыли и потери) встречаются часто. Таким образом, распределение доходов будет иметь тяжелые хвосты и будет сильно отличаться от нормального. Статистические методы, которыми чаще всего пользуются экономисты, являются линейными и плохо отражают нелинейные динамические свойства саморегулирующихся рынков. Конечно, можно воспользоваться линейными методами с предварительным преобразованием, например, вместо какой-то из переменных взять ее логарифм или более высокую степень, но здесь возникают проблемы с выбором из слишком большого количества возможньгх преобразований. Кроме того, методы, основанные на средней квадратичной ошибке, плохо справляются с разрывами в траекториях хаотической модели.

Представляется, что нейронные сети лучше, чем другие методы, подходят для выявления нелинейных закономерностей в отсутствие априорных знаний об основной модели. Их можно применять во всех случаях, где обычно используются линейные (или преобразованные линейные) методы с проведением оценок посредством подходящего статистического метода (см. [114]). Чтобы лучше представить себе возможности нейронных сетей, рассмотрим процесс обучения очень простой многослойной сети с алгоритмом обратного распространения ошибки (MBPN) на искусственно смоделированном псевдохаотическом временном ряде. Начнем с простого логистического механизма обратной связи, описанного выше (см. рис. 3.4):

р,=\-4р, ,+4р1,.(4)

Рассматривалась 1-2-1 MBPN-сеть (1 входной элемент, 1 скрытый слой из двух элементов и 1 выходной элемент), с полной связью между соседними слоями и без прямых связей между входом и выходом. Сеть обучалась на последовательности входных значений , и вьгходньгх , полученньгх из соотношения (4). Мы использовали обобщенное нормальное обучающее правило дельта с коэффициентом обучения 0.9. Задача оказалась довольно простой. Для периода обучения было взято 3000 циклов, после чего .мы предсказывали значения цены на 100 периодов вперед, а затем сравнивали их с «настоящими» значениями, вычисленными по формуле. Результаты представлены на рис. 3.7.

Ш Прогноз пофедством сети О Логистическое отображение

Рис. 3.7. Прогноз логистического отображения с помощью 1-2-1 сети

В области очень высоких и очень низких цен имеются некоторые отклонения, но в целом результаты выглядят вполне удовлетворительно. Корреляция между целевой перемегиюй и выходом сети составляет 0.9898, а среднеквадратичная ошибка прогноза равна 0.0026. При более длительном обучении и другом выборе параметров обучения можно добиться большей точности.

Вернемся теперь к первому варианту системы с квадратичной обратной связью (см. рис. 3.2) с параметрами с = 0.5, с, = -0.7, с = 1.2, но теперь добавим к ней белый шум. Предположим, что изменения цепы иаполови1гу завиагт от неинформированных инвесторов, которые реагируют на текущую цену в соответствии с приведенным выше соотношением, а па другую половину - от реакции информированных инвесторов на поступающую информацию о рынке, которая носит случайный характер. В нашей модели эта вторая составляю-П1ая цены бралась из нормального распределения с нулевым средним и стандартным отклонением 0.2. Результирующий доход есть среднее арифметическое от случайного дохода и дохода, определяе-.мого обратной связью.

Жирной линией иа рис. 3.8 изображены цены с учетом всех видов дохода, а тонкой линией - цены, полученные на основе предсказанного дохода без учета вновь поступающей (случайной) информации. Хорошо видно сглаживающее действие обратной связи: низкая цена дает сильную положительную обратную связь, а высокая - небольшую отрицательную. В табл. 3.1 приведены данные линейной регрессии между последовательными значениями цены р, j и р, для варианта с суммарными доходами. Поскольку сдвиг близок к нулю, а ко-