назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [ 20 ] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360]


20

Доллфы, логарифмическая шкала

Рост на базе сложного процента (10%) Рост на базе простого процента (10%)

j Будущие периоды, годы

10 И

РИСУНОК 3-3

Та же ситуация, что и на рисунке 3-2, за исключением того, что вертикальная ось логарифмическая. Постоянные сложные темпы роста дают прямую возрастаюшую линию. Этот фафик наглядно показывает, что темпы роста стоимости инвестиций, на которые начисляется простой процент, со временем фактически снижаются.

Финансовые проблемы в основном связаны со сложным процентом, нежели с простым, и поэтому специалисты в этой области всегда считают, что вы имеете в виду сложный процент, если иное не оговорено специально. Дисконтирование представляет собой использование сложного процента. Некоторые люди интуитивно предпочитают заменить вопрос "Какова приведенная стоимость 100 дол., которые будут получены через 10 лет, если альтернативные издержки равны 10%?" на вопрос "Сколько я должен инвестировать сегодня, чтобы получить 100 дол. через 10 лет при процентной ставке, равной 10?". Ответ на первый вопрос:

PV=- = 38,55 дол.

{1,10)

И ответ на второй вопрос:

Инвестиции х (1,10)" = 100, 100

Инвестиции =

{l,10f

= 38,55 дол.

*3амечание об

интервалах

начисления

сложного

процента

Нижние линии на рисунках 3-2 и 3-3 показывают рост первоначальных инвестиций в размере 38,55 дол. до их конечной стоимости 100 дол. Дисконтирование можно представить как движение назад вдоль нижней линии от стоимости в будущем до стоимости в настоящее время.

До настоящего момента мы подразумевали, что все потоки денежных средств приходятся на конец года. Иногда такое случается. Например, во Франции и Германии большинство корпораций выплачивают проценты по своим облигациям раз в год. Однако в США и Великобритании большинство корпораций выплачивают проценты раз в полгода. В этих странах инвесторы могут получать дополнительные проценты за 6 месяцев по первым выплатам, так



Когда мы говорим о непрерывных выплатах, мы предполагаем, что деньги образуют постоянный поток, подобно воде, льющейся из водопроводного крана. На самом деле такого быть не может. Например, вместо выплаты 10 ООО дол. каждый год наш меценат может выплачивать по 100 дол. каждые 8 и зДчаса, или по 1 дол. каждые 5 и Дминуты, или по 1 центу каждые 3 и 1д секунды, но он не может делать это непрерывно. Финансовые менеджеры делают вид, что начисление процентных выплат происходит непрерывно, а не раз в час, день или неделю, потому что, во-первых, это упрощает расчеты и, во-вторых, это дает очень точное приближение к чистой приведенной стоимости частых выплат.

что 100 дол. инвестиций в облигации, по которым выплачивается 10% годовых с начислением процентов два раза в год, могут составить 105 дол. через 6 месяцев, а к концу года 1,052 х 100= 110,25 дол. Иначе говоря, 10% с начислением два раза в год эквивалентны начислению 10,25% за год. В более общем виде ] дол. инвестиций с годовой ставкой г, начисляемой т раз за год, составит к концу года [1 + (r/m)]* дол., и эквивалентная годовая ставка сложного процента равна [1 + (г и)] - 1.

Сберегательные и кредитные компании учитывают привлекательность для инвесторов более частых выплат. Процентная ставка по их депозитам традиционно объявлялась как годовая ставка сложного процента. Правительство обычно оговаривает максимальную годовую ставку процента, но не указывает период, за который начисляются проценты. Когда верхние значения процентной ставки начинают ограничиваться, сберегательные и кредитные компании переходят постепенно к полугодовым, а затем и помесячным начислениям процента. Это эквивалентно росту годовой ставки сложного процента сначала до [1 + г/2] - 1 , а затем до [ 1 + г/12]" - 1.

В конце концов одна компания объявила о непрерывно начисляемом сложном проценте, так что выплаты производились равномерно и непрерывно в течение года. Применительно к нашей формуле это означает, что т стремится к бесконечности. Может показаться, что это означает офомный объем вычислений для наших сберегательных и кредитных компаний. К счастью, кто-то еще помнил курс алгебры средней школы и заметил, что если т стремится к бесконечности, то выражение [1 + {г/т)] приближенно равно (2,718). Число 2,718, или, как его обозначают, е - это основание натурального логарифма.

Сумма в 1 дол., инвестируемая по ставке непрерывно начисляемого процента г, следовательно, вырастет до е = (2,718) к концу первого года. К концу /лет она вырастет до е" = (2,718)". В таблице 4 Приложения в конце книги представлены значения е". Давайте используем их в практических примерах.

Пример 1. Предположим, что вы инвестируете 1 дол. по годовой ставке с непрерывным начислением, равной 10% (г=0,10), на один год (t= 1). Стоимость в конце года просто равна е"", что, как видно из второй строки таблицы 4 Приложения, составляет 1,105 дол. Говоря другими словами, инвестирование под 10% годовых с непрерывным начислением сложного процента в течение года равнозначно инвестированию с годовым начислением 10,5%.

Пример 2. Теперь предположим, что вы инвестируете 1 дол. по ставке 11% с непрерывным начислением сложного процента (г= 0,11) в течение одного года (/=1). Следовательно, стоимость инвестиций на конец года составляет е"", что, как видно из второй строки таблицы 4 Приложения, равно 1,116 дол. Иначе говоря, инвестирование по годовой ставке 11% с непрерывным начислением сложного процента равнозначно инвестированию с начислением сложного процента по ставке 11,6% один раз в год.

Пример 3. И наконец, допустим, что вы инвестируете 1 дол. по годовой ставке 11% с непрерывным начислением сложного процента (г = 0,11) на два года (Г= 2). Конечная стоимость инвестиций будет е"". Из третьей строки таблицы 4 Приложения видно, что е"" равно 1,246 дол.



PV=C

г ге")

= 100 000

0,0953 0,0953 6,727 =100 ОООх 8,932= 893 200дол.

Мы можем произвести эти вычисления более коротким способом, используя данные таблицы 5 Приложения. Из нее мы видим, что если годовой доход возрастает исходя из 10% годовых с начислением по методу сложного процента, тогда инвестирование 1 дол. в год через 20 лет будет стоить 8,932 дол.

Если вы вернетесь к нашему предьщущему обсуждению аннуитета, вы заметите, что приведенная стоимость 100 ООО дол., выплачиваемых в конце каждого года в течение 20 лет, равна 851 406 дол. Следовательно, нашему филантропу обеспечение постоянного потока выплат обойдется дороже на 41 800 дол., или на 5%.

Следует помнить, что аннуитет представляет собой просто разницу между бессрочной рентой, получаемой сегодня, и бессрочной рентой, которая будет получена в году t. Стоимость постоянного годового потока денег Спо бессрочной ренте равна С/г, где г-ставка сложного процента с непрерывным начислением. Таким образом, стоимость нашего аннуитета составит:

PV= - -приведенная стоимость величины -, полученной в году t.

Поскольку г - это ставка сложного процента с непрерывным начислением, сегодняшняя стоимость С/г, полученных в году t, равна С/г х (1/е"). Тогда наша формула приобретает следующий вид:

С С ; /.К=---х-,

или иногда ее записывают так:

-(\-е-").

Принцип непрерывного начисления сложного процента имеет особое значение при планировании долгосрочных вложений, когда более обоснованно считать, что поток денежных средств поступает равномерно в течение года, а не в конце года. Чтобы понять это, можно использовать наши предыдушие формулы. Например, предположим, мы хотим вычислить приведенную стоимость бессрочной ренты в размере Сдол. в год. Мы уже знаем, что если платеж осушествляется в конце года, мы делим его величину на годфвую ставку сложного процента г, начисляемого один раз в год:

Если те же выплаты осушествляются равномерно в течение года, мы используем ту же формулу, но подставляем ставку непрерывно начисляемого сложного процента.

Для любых других непрерывных выплат мы можем использовать нашу формулу оценки аннуитета. Например, предположим, что наш филантроп обдумал все более серьезно и решил построить дом для престарелых ослов, который обойдется в 100 ООО дол. в год, если строительство начнется немедленно и расходы будут осуществляться равномерно в течение 20 лет. Ранее мы использовали годовую ставку 10% с начислением сложного процента один раз в год; теперь мы должны применять годовую ставку с непрерывным начислением сложного процента г= 9,53% (е""" = 1,10). Чтобы покрыть эти расходы, наш филантроп должен иметь в наличии следующую сумму:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [ 20 ] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360]