Таким образом, стоимость бизнеса г-жи Хартии Вольнэсти с учетом опциона на отказ возрастает на 39 ООО дол.:

Стоимость бизнеса с опционом на отказ

стоимость бизнеса

стоимость

без опциона на отказ опциона = 553 + 39= 592, или 592 ООО дол.

Что произойдет с опционом г-жи Хартии Вольнэсти при более чем двух возможных исходах

Опцион г-жи Хартии Вольнэсти дает хорошую возможность расширить наши представления о биномиальной модели. Напомним, что г-жа Хартия Вольнэсти учитывала только два возможных изменения стоимости ее бизнеса - рост на 33% при высоком спросе и снижение на 25% при низком спросе. В качестве альтернативы предположим, что каждые 6 месяцев стоимость фирмы г-жи Хартии Вольнэсти могла бы либо увеличиваться на 22,6%, либо снижаться на 18,4% (мы вскоре расскажем вам, как мы получили эти цифры). На рисунке 21-2 показаны возможные значения стоимости фирмы к концу года. Вы можете видеть, что теперь вероятны три исхода. Стоимость фирмы может вырасти до 832 ООО дол., остаться неизменной или снизиться до 368 ООО дол. Такое предположение, видимо, более реалистично, чем первоначальный сценарий "взлета или падения" г-жи Хартии Вольнэсти.

Мы по-прежнему допускаем, что г-жа Хартия Вольнэсти имеет опцион на продажу самолета в конце года за 500 ООО дол.: мы показываем соответствуюшую стоимость этого опциона в скобках под данными о возможных значениях стоимости бизнеса в конце года. Таким образом, если стоимость фирмы окажется равной 832 ООО дол., опцион потеряет стоимость; в другом крайнем случае, если стоимость фирмы снизится до 368 ООО дол., опцион будет стоить:

Цена исполнения - стоимость фирмы = 500 - 368 = 132, или 132 ООО дол.

Стоимость опциона через б месяцев

Чтобы оценить стоимость опциона в конце 6-месячного периода, сначала мы воспользуемся моделью нейтрального отношения к риску Если инвесторы безразличны к риску, ожидаемая доходность фирмы должна равняться процентной ставке, которая составляет 5% годовых, или 2,5% за 6 месяцев. Итак:

вероятность роста

X 22,6 +

J вероятность роста

X {-18,4) = 2,5.

Вероятность роста = 0,51, или 51%.

Предположим, что прошло 6 месяцев и стоимость фирмы равна 456 ООО дол. В этом случае вероятность полного обесценения опциона к концу года составляет 51%, а вероятность того, что он будет стоить 132 ООО дол., - 49%. Итак:

Ожидаемая стоимость опциона в конце года=(0,51 х 0) + (0,49х 132) = 65.

5 Мы предполагаем, что самолет не может быть продан в конце 6-месячного периода. Другими словами, мы допускаем, что право на отказ от бизнеса представляет собой "европейский" опцион.

Обшая формула для вычисления вероятности роста:

процентная ставка - относительное снижение

Р =-:-

относительный рост - относительное снижение

В случае с компанией "Вольный полет":

2,5- (-18,4)

22,6- (-18,4)

= 0,51.

При ставке, равной 2,5% за 6-месячный период: Стоимость через 6месяцев =

1,025

= 63.

Если стоимость фирмы в конце 6-месячного периода равна 679 ООО дол., опцион, безусловно, обесценивается к концу года, и поэтому его стоимость на 6-м месяце равна нулю.

Стоимость опциона на сегодня

Теперь мы можем подставить цифры вместо знаков вопроса на рисунке 21-2. На рисунке 21-3 показано, что если стоимость фирмы в конце 6-го месяца равна 451 ООО дол., то стоимость опциона составляет 63 ООО дол., а если стоимость фирмы равна 679 ООО дол., то стоимость опциона равна нулю. Теперь нам осталось определить стоимость опциона на сегодня. Ожидаемая стоимость опциона на конец 6-го месяца:

вероятность роста

вероятность роста

х63 =

= [0,51 X 0) + {0,49 X 63) = 31. Отсюда, стоимость сегодня равна:

Ожидаемая стоимость опциона на конец 6-го месяца 31

= 30.

1 + процентная ставка1,025

В "одноступенчатом" примере мы допустили, что спрос может быть либо только высоким, либо только низким, и получили стоимость опциона, рав-

РИСУНОК21-3

Отталкиваясь от значений стоимости в конце 12-месячного периода, мы рассчитали стоимость опциона на выход из бизнеса компании "Вольный полет" через 6 месяцев.

Сейчас

Месяц 6

Месяц 12

ную 39.000 дол. Расчет в два этапа позволил нам понять, что в зависимости от спроса стоимость могла бы принять три возможных значения, и это изменило нашу оценку стоимости опциона до 30 ООО дол. При расчете в два этапа мы потратили больше времени на оценку стоимости опциона, но принцип остался тот же и не требует более сложных, чем умножение и деление, математических операций.

Общий

биномиальный метод

Двухступенчатый расчет стоимости опциона компании "Вольный полет", вероятно, более реалистичен. Но нет причин на этом останавливаться. Мы можем выбирать все более и более короткие интервалы, в течение каждого из которых происходят только два возможных изменения стоимости предприятия. Например, мы могли бы разделить год на 12 периодов, по месяцу каждый. Это дало бы нам 13 возможных значений стоимости в конце года. Мы также могли бы использовать биномиальный метод, чтобы пройтись в обратном направлении, от конечных данных к настоящим. Конечно, было бы утомительно проводить такие вычисления вручную, но на компьютере вы можете быстро просчитать простые опционы с большим количеством периодов изменения стоимости актива.

Поскольку будущая стоимость активов обычно может принимать почти неограниченное число значений, биномиальный метод, видимо, дает более реалистичные и более точные оценки стоимости опциона, когда вы работаете с большим количеством подпериодов. Но в связи с этим возникает один важный вопрос: как мы получаем разумные значения относительного роста и снижения стоимости? Например, почему мы взяли значения 22,6% и -18,4%, когда производили переоценку стоимости фирмы "Вольный полет" с использованием двух подпериодов? К счастью, есть несложная формула, связывающая относительное снижение и увеличение стоимости со стандартным отоо-нением доходности актива:

} + относительный рост =и = е"

} + относительное снижение = d= -,

е - основание натурального логарифма = 2,718;

СУ - стандартное отклонение среднегодовой доходности актива (с непрерывным начислением); h - интервал, как часть года.

Когда г-жа Хартия Вольнэсти утверждала, что стоимость ее бизнеса могла бы увеличиться на 33% или снизиться на 25% в течение одного года, ее цифры соответствовали 28,8% стандартного отклонения среднегодовой доходности бизнеса: -

/ + относительный рост {период 1 год) = и= е"-"" =1,33.

1 + относительное снижение = d=- = -г-: = 0,75.

и 1,33

Когда мы разбиваем год на два периода, чтобы найти соответствующие величины относительного роста и снижения стоимости, мы используем ту же формулу:

/ + относительный рост {период 6 месяцев) = и= е""" =1,226.

1 + относительное снижение = d = - = -- = 0,816.

и 1,226