рого к*. В этой точке одна или несколько ценных бумаг меняют свой статус. Если таких бумаг несколько, точка X* называется вырожденной.

Как найти критическую точку? Ценная бумага, меняя статус, может либо из нижней стать внутренней, либо из внутренней - верхней. Соответственно критическая точка X*

Ц - К,Vi - К,

Х*= ,или Х*=

Чтобы выяснить, какая именно ценная бумага меняет свой статус, иногда бывает необходимо решить соответствующую систему уравнений не один раз, положив для внутренних ценных бумаг X, = К, + klX, а для верхних и нижних задав их фаничные величины. Однозначного алгоритма, тем более для вырожденной точки, не сушествует.

Найдя первую критическую точку А., движемся по оси X справа налево, находим следующую и т.д. Число критических точек не определено.

В результате получаем для каждого Xj кусочно-непрерывную ломаную линию. Приведем пример решения для портфеля из тех же бумаг, что и в предьщущем примере, при условии, что Л> О, О < Лг < 0,6 и О < Аз < 0,6. Получим следующее решение:

-на отрезке 144 < А. < «: Al = О - нижний статус,

Х2 = 0,4 - внутренний статус, Аз = 0,6 - верхний статус;

-в точке Хс\ = 144 ценная бумага 3 меняет свой статус с верхнего на внутренний:

Al = О - нижний статус,

Х2 = \ - 0,00417А. - внутренний статус,

Аз = 0,00417А. - внутренний статус;

-точка Хс2 = 96 выражена. В ней безрисковая бумага 1 становится внутренней, а бумага 2 приобретает верхний статус: Al = 0,55 - 0,00625Х - внутренний статус,

А2 = 0,6 - верхний статус,

Аз = -0,15 + 0,00625Х - внутренний статус;

-в точке А.сз = 72 бумага 2 снова меняет свой статус с верхнего на внутренний:

Al = 1 - 0,0125А. - внутренний статус, А2 = 0,0083Х - внутренний статус, Аз = 0,00417Х- внутренний статус.

Графически решение изображено на рисунке 11.15.

24 48 Рис. 11.15. Угловой портфель

Поиск решения в случае углоюго портфеля может оказаться весьма трудной задачей. К сожалению, именно такие задачи стоят перед составителем портфеля в подавляющем большинстве случаев. Например, различные фонды не имеют права держать в своем портфеле более некоторой наперед заданной доли одной ценной бумаги.

11.4. РЫНОЧНЫЙ ПОРТФЕЛЬ

Ранее было сказано, что все инвесторы приобретают рыночный портфель в дополнение к безрисковым ценным бумагам. Надо только иметь в виду, что рыночный портфель реально могут приобрести только очень крупные инвесторы. Ведь такой портфель состоит из всех акций, котирующихся на бирже. При современном состоянии вычислительной техники рассчитать этот портфель несложно. Эта описанная ранее задача для безрисковой ценной бумаги 1 и остальных рисковых. В точке а, где Л", = О, остальные бумаги именно составляют рыночный портфель.

Обозначим pi - цена одной /-той акции, Ef - ожидаемая

доходность в деньгах на одну /-тую акцию; erf - стандартное отклонение в деньгах одной /-той акции.

n1 n

J -

£$s

Тогда Е, = - - 1, а, = -, - общее количество /-той акции PiPi

на рынке, х/ = к,Х = PQi - стоимость корпорации, эмитировавщей /-тые акции.

Система уравнений в новых обозначениях будет иметь вид: 2p,2CTfcT2G2 + 2p,.3afae3+...+2p,afae = [Ef - (1 + r)p,]x.

Обозначим Sf = 2pj,.afajGj. Тогда

Sf =[Ef-{l + r,)p]x,

l +(l4-/y)X-

Как видим, цена акции зависит от рисковых предпочтений инвестора. Пусть, например, на рьшке котируются две корпоративные акции с данньш[и характеристиками:

Е! = 20, of =5,Q, = 5; £з=30,аз=10,(3з=10; Р23 = 0,5.

Если /у= 0,1 и А. = 300, получим следующее решение:

р2 = 15,91, Pj, = 20,45, Х2 = 0,28, = 0,72. Общая стоимость рынка 284,05. Однако если Х= 150, то р2 = 13,64; р = 12,12; х = 0,36; х = 0,64.

Записав уравнение в виде Pj = -j-~, можно убедиться,

что риск уменьшает цену акции. Зависимость цены акции от рисковых предпочтений иллюстрируется на рисунке 11.16. Наклон прямой бд/рынка капитала равен: