назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [ 130 ] [131] [132] [133]


130

при условии X =1 для всех Х> 0. Надо сказать, что Х/ могут

/•=1

принимать любые значения в интервале (-«, +оо). Отрицательная величина Х/ означает, что ценные бумаги с соответствующими характеристиками нужно не покупать, а продавать. Будем искать решение для Xj в виде Х/= Kj + к/К. Тогда, решив задачу однажды, можно, меняя рисковые предпочтения, подбирать нужный портфель (рис. 11.13). Например, инвестор хочет создать портфель из трех бумаг. В результате решения он получит такую, например, картину:

-0,5

Рис. 11.13. Пример портфеля

Выбрав цену риска, соответствующую X*, инвестор получит эффективный портфель, отвечающий его готовности рисковать ради получения дохода. Тогда

/V N

К, = V V Q = V V + XV V (jckc, + к,кс +

Задача, подобная описанной, решается методом Лафанжа. Полагая, что читатель с этим методом знаком, приведем получающуюся в результате его применения систему линейных уравнений:

2C,,X,+...+2qX -к = Щ, i = 1, N,

JSJ, = 1.



Эту систему необходимо решить дважды. Сначала принять X = О, тогда получится А,, будет описан портфель с минимальной вариацией, а затем решить эту же систему, задав, например, X = 1. Тогда получим kj, и задача решена для любых X.

Рассмотрим пример. Пусть инвестор хочет создать портфель из трех акций, имеющих следующие характеристики:

-ожидаемые доходности - 20%, 30% и 40%;

-стандартные отклонения - 20%, 40% и 50% соответственно;

-коэффициенты корреляции -

Р2 = 0,5; р,з = 0,1; P23 = -0,1. Получим систему уравнений:

шх, + soox2 + 200х, -Ху= 20х, soox, + 3200х, - 400х, - = ЗОХ, 200х, -тХ, + 500х, -Х= 40Х,

x; + х2 + х = 1.

Приняв X = О и решив систему уравнений, получим А). Положив X = 1 и решив эту же систему уравнений второй раз, вычислим к,. В результате получим:

А, = 0,857 - 1,250Х, Аз = 0,114 + 1,253Х.

Графически решение дано на рисунке 11.14.

Рис. 11.14. Решение основной задачи

Пусть на рынке есть безрисковые бумаги с £, = 10% и, конечно, 0 = 0. Тогда, если составить портфель из безрисковой ценной бумаги и первых двух из предыдущего портфеля, получим систему уравнений:



- -kf = ш,

8002 + 8003 -kf= 20Х, 8002 + 32003 = Ш,

Xi + х + х,\.

Повторив уже описанную процедуру, получим следующее решение:

, = 1 - 0,0125Х, Х2 = 0,0083Х, Лз = 0,00417Х.

Обратите внимание на то, что для рискованных ценных бумаг К= Q. Это общее свойство решения системы уравнений при наличии в портфеле безрисковой ценной бумаги.

11.3. УГЛОВОЙ ПОРТФЕЛЬ

На практике обычно на величины Х-, накладывают ограничения. Самое распространенное из них Xj > 0. То есть предполагается, что инвестор не собирается делать эмиссию или брать в долг. Кроме того, .возникают ограничения типа: доля любой ценной бумаги в портфеле не должна превышать определенной величины. Система уравнений сохраняет свой вид, но метод решения принципиально меняется.

Обозначим минимальные границы долей Ц и максимальные Uj. Тогда в общем случае L, <Х,< Ц. Если для /-той бумаги выполняется условие Lj < Xj < Ll„ она имеет внутренний статус. Если = 6, - верхний статус, если Х = - нижний статус. Далее нужно определить, каков будет статус ценных бумаг при X -> » . Для этого сначала всем ценным бумагам, входящим в портфель, присваивают нижний статус, кроме одной ценной бумаги, у которой макси-

мальная доходность. Для этой бумаги принимают X = 1 - X А.

Если полученная величина не превосходит Vj, то решение для X ос найдено. Если же полученная величина превосходит и„ то выбранной бумаге присваивают верхний статус Х-, = Uj, выбирают следующую по доходности бумагу и подбирают такое X, чтобы ZA, = 1. Эта процедура повторяется до тех пор, пока идя всех ценных бумаг не будет найден их статус при X -> ос. Понятно, что подобного состояния портфель достигнет начиная с некото-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [ 130 ] [131] [132] [133]