Приложение 15. А
Если функция полезности является квадратичной, если события Z(t) влияют на запас потребительского капитала (см. уравнение (15-22)) и если события £(0 влияют на функцию полезности, то величина потребительского капитала выводится из следующего дифференциального уравнения:
+o + 6)E(0 + Z(0-
а + о + -
где \xp(t) заменяется наp{t), а является коэффициентом при E{t)c{t), а = (6 + + a){o.J<x) + (ауа„), а В задается уравнением (15-11). Если зависимость между 5 и с задается уравнением (15-22), то решение этого уравнения для c{i), удовлетворяющее начальному условию 5(0) = 5" и условию трансверсальности в уравнении (15-8), имеет вид
(15-Ш)
о «
Ot„(X2-l)o
г. 1-
--(X-i)
(6+)tS + Я, + (а„ / а„)] х,, 1 /zix)dx -(Хз-Х.)J
(5 + X,)[5 + Л, + (а„ /а,,)] j „-h7<.yr +
(Хз-Х))Q
(15-П2)
+ сомножители при E(t), равные -а„, помноженные на соответствующие сомножители при p(t). Исходя из определения X, и Xj (15-12) и проведя простые преобразования, можно показать, что
5 + X, + а„/а,, < О, 6 + Х, + а„/а,, > 5 + а/2 + а„/а,, > 0. (15-ПЗ) В уравнении (15-П2) учитываются производные с(0 по р{х) при т > t или т < / из уравнений (15-20) и (15-21). Практически идентичные производные получаются для c(t) по £(т), так что если а > О, то
~ (15-П4)
Э£(0 I Ои Эр(х)
Эс(0
ЭЕ(х)
I О, так как 5 + Xi О,
Ожидаемое будущее повыщение цен сокращает текущее потребление аддиктивных благ, поскольку их потребление в различные моменты времени является взаимодополняющим. Отсюда .следует, что временные изменения цен на аддиктивные блага оказывают на текущее потребление меньшее влияние, чем (компенсированные) перманентные изменения.
Сильное пристрастие к сигаретам, алкоголю, наркотикам, как правило, можно преодолеть, только "завязав", т.е. резко прекратив их потребление. Необходимость в таком "завязывании" может наводить на мысль о слабой воле и других формах недостаточно рационального поведения. Однако мы показали, что "завязывание" согласуется с рациональностью поведения. Действительно, индивиды, ведущие себя рационально, освобождаются от сильной зависимости только при помощи быстрого и чаще всего резкого прекращения потребления.
Пристрастия представляют главный вызов для теории рационального поведения. Зависимость вызывают не только такие хорошо известные вещи, как табак, алкоголь или кокаин; определенное привыкание формируется и ко многим другим благам. Мы не утверждаем, что всякое идиосинкразическое поведение, связанное с любыми видами пристрастий, согласуется с понятием рациональности. Однако теория рациональных пристрастий действительно хорошо объясняет известные особенности зависимости от них и, на нащ взгляд, дает более широкие возможности для понимания зависимого поведения, чем другие подходы к этой проблеме. Этим наша модель рациональных пристрастий бросает вызов альтернативным подходам к объяснению данного феномена.
Э2(т)
5 + Я
5 + -I-
так как 5 + X, о. Однако
О, (15-П5)
Э2(х)
5 + Я,+
l(5 + ,y-(5+A.).V
<0.
(15-П6)
Следовательно, будущие события, увеличивающие размеры по-фебигельскот капитала, оказывают ожидательное воздействие на текущеГпоГлеГ
Приложение 15. Б
Если степень смежной межвременной взаимодополняемости достаточно высока, так что функция полезности перестает быть вогнутой по с(0 и S{t), то два корня, задаваемые уравнением (15-12), будут комплексными и форма траектории оптимального потребления существенно изменится. Рассмотрим случай, когда функция полезности все еще вогнута отдельно по c{t) и 5(0. но при этом она не вогнута по ним обоим одновременно:
а„ < О, а„ < О, а,,а,, < а.Д(15-П7)
Эти предположения указывают на то, что именно высокая степень взаимодополняемости между прошлым и текущим потреблением (т.е. между c{t) и 5(0) придает некоторую выпуклость функции полезности, но не отсутствие вогнутости по с(0 или по 5(0 в отдельности. В областях, где 45 < -а, оба корня характеристического уравнения Х--аХ-В будут комплексными (см. уравнение (15-13)).
Если корни комплексные, то неустойчивое равновесное состояние заменяется разрывностью функции оптимального потребления, связывающей потребление с с текущим запасом потребительского капитала 5. Однако до
(15-П9)
ЧТО представляет собой условие смежной межвременной взаимодополняемости (аналогично при г > t).
Кроме того, из уравнения (15-ПЗ) мы имеем
тех пор, пока функция полезности удовлетворяет условию а„ < О, эта разрывность будет иметь специфическую форму.- с(5) < 55 слева от критического значения 5 (5 в данном случае это не тот запас капитала, который удовлетворяет условию равновесия) и с(5) > 55 справа от 5 .
Если 5 лежит выше нижнего равновесного уровня при воздержании, то эта критическая величина потребительского капитала может порождать феномен резкого "завязывания". Другими словами, потребление может значительно сокращаться в ответ Даже на слабое повышение цены или "несерьезное" жизненное испытание.
Лучше всего проиллюстрировать этот результат простым примером. К сожалению, квадратичные функции полезности, удовлетворяющие неравенствам (15-П7), при бесконечном временном горизонте неограниченны. Рассмотрим все же следующую модифицированную квадратичную функцию полезности:
и (с(0, 5(?)) = при с(0 < О или ф) > С,(15-П8)
так что потребление ограничено интервалом [О, С ], и
и (ф), 5(0) = ос,с(0 + a,S{t) + а„с(05(0 + 0,5а,,с(о при О < ф) < С. Хотя для упрощения вычислений мы предполагаем, что а„= О, для получения основных результатов требуется только выполнение следующих неравенств: а,/> аеиИ 45 <
В этом случае условия первого порядка имеют вид:
с(0 = О, тогда (а, - р) 4- а„5(0 + а„с(0 + q{t) < О, О < с(0 < С , тогда (а, - ц) + а„5(0 + а„с(0 + q(t) = О, с(0 = С, тогда (а, - ц) + а„5(0 + а,,с(0 + (0 О-Величина р представляет собой произведение предельной полезности дохода и постоянной цены блага с, а (0 - это теневая цена потребительского капитала.
Пусть 5, > О - наибольший запас потребительского капитала такой, что с(0 = О удовлетворяет условию Эйлера для локального оптимального решения. Очевидно, что 5, должен удовлетворять условию: (а. - р) ч- а„5,+ а. / (а + 5) = О или S, = -)lsK<ym (15.П1О)
Мы предполагаем, что 5/ строго больше нуля, т.е. что при увеличении запаса потребительского капитала связанные с этим издержки превышают выгоды.
Подобным же образом определим наименьший запас капитала Sf, такой, что c{t) - С а удовлетворяется уравнение Эйлера (и условие трансверсальности). Его величина определяется следующим выражением
+
0 + 8
(15-П11)
Наконец, запас потребительского капитала S*, удовлетворяющий условию равновесия, имеет вид:
(а-ц) + а„5*+а,55* +
а + 5
= 0.
(15-т2)
Если а„/(о + 5) = -а„ тогда 5,= 5 = 5*. В этом случае с(г) = О, c(t) = С и с(г) = = 55* являются решениями уравнения Эйлера. Однако выпуклость, порождаемая сильной взаимодополняемостью между с я S, подразумевает, что пожизненная полезность будет максимизироваться выбором либо c(t) = О, либо c(t) = С при начальном капитале, равном S*.
Приложение 15. В
Мы предполагаем, что функция полезности квадратична по с, > и двум типам капитала 5, и S, где 5, и 2 независимы друг от друга (ai = 0). Хотя в моделях с одним и двумя типами капитала результаты, получаемые для равновесного состояния, подобны, тем не менее их динамика довольно сильно различается. Для упрощения записи преобразуем выражения для уровня потребления и запасов капитала таким образом, чтобы равновесные значения с и 5 равнялись нулю. Тогда решение этой стандартной задачи оптимального управления будет иметь вид
5,(Г) = ф,/Чф22е.(15-П13)
Из ограничения, согласно которому оба вида капитала накапливаются за счет одного и того же процесса потребления, следует, что
Фп(1 + 5) = Ф2(1+ S2), Ф12(Х2+ 5,) = Ф22(Х2+ 5). (15-П14)
Aj=~l((y+28j)a,+ajX j = l2(15-П17)
является мерой взаимозаменяемости или взаимодополняемости.
Перемножая и приводя подобные, получаем полином относительно кор-
нейЯ:
-f CT(Y, + Y2 - 1 - А) + (Y1Y2- Y,2- Y2i) = О, (15-П18) где y, = 5,(5у -ь а),; = 1, 2 и где YjY2~ Yi-z" Y2i О - необходимое условие устойчивости равновесного состояние. Корни будут комплексными, если
(Y, - Y2)- + 2(Y, - Ъ)(Аг~Л,) + (А, + А,У < 0.(15-П19)
Из уравнения (15-П18) следует, что для комплексных корней необходимым и достаточным условием будет:
[(Y, - Y2) + (2 - ,)? + 4Л ,Л, < 0.(15-то)
Сравнивая уравнения (15-П19) и (15-П20), легко увидеть, что комплексные корни требуют, чтобы капитал с более высокой нормой обесценения удовлетворял условию смежной межвременной взаимодополняемости, а капитал с более низкой нормой обесценения - условию смежной межвременной взаимозаменяемости.
Характеристическое уравнение для этих корней требует, чтобы
ф, .а,, +ф,,.а -1-5,) а Л .(Л. +5,) + ф„а, -f Фз,а,з + 5,-1
ф,,.а„ +ф-,,а 2(Я, 4-5,) + -! 1 - = 0,7 = 1,2.(15-П15)
Если использовать (15-П14) для замены фз, на ф„(Я, + 5,) / (Я, + 52).в уравне- -НИИ (15-П15), то характеристическое уравнение примет вид
{X + 5,)(Л + Ь,){а + 5, - Л)(а + 5- Я) - (Я + 52)(ст + 5~Х)А,-
-(Я + 5,)(а + 5,-Я)Л2=0,(15-Ш6)