назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110]


23

можем переписать уравнение (3-П15) следующим образом:

(3-П18)

4. Прежде чем обсуждать общий случай, описываемый уравнением (3-П18), рассмотрим несколько частных случаев. Если все кривые предложения одинаковы и имеют бесконечную эластичность: а, = а, Р = «о, то уравнение (3-П18) принимает вид:

Ej = ка),(3-П19)

а уравнение (3-П14) преобразуется к виду:

С,=к*а),(3-П20)

т.е. в этом случае распределения заработков и инвестиций отличаются лишь на константу.

Логарифмическое преобразование (3-П19) дает

\nEi=\nk + b\na„

(3-П21)

a(ln£) = ba(lna),(3-П22)

где a - стандартное отклонение. Таким образом, стандартное отклонение логарифма заработков - общепринятая мера неравенства - положительно связана с эластичностью спроса и стандартным отклонением расположения кривых спроса. Форма распределения Е также зависит от и от распределения а. Например, если бы а имела логарифмически-нормальное распределение, то Е также имела бы логарифмически-нормальное распределение и его асимметрия была бы положительно связана с величиной Ъ и асимметрией распределения а. В самом деле, поскольку Ь> \, распределение Е было бы более неравномерным и асимметричным, чем распределение а!.

Кроме того, распределение Е может иметь положительную ассиметрию, даже если это не так для распределения а, причем асимметрия будет тем большей, чем больше величина Ь. Например, если распределение а симметрично, то значения а, отличающиеся от его средней величины как в большую, так и в меньшую сторону, будут увеличиваться при преобразовании Е (мы пренебрегаем новыми единицами измерения к и, конечно, исключаем

Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что как асимметрия, так и дисперсия логарифмически-нормального распределения зависят только от дисперсии нормального распределения, получаемого логарифмическим преобразованием [см.: Aitchison. Brown. 1957, p. 8-9].

случай а < \), однако значения а, превышающие среднее, будут увеличиваться в большей степени как по абсолютной величине, так и в процентном выражении. В результате большие величины образуют "хвост", и этот "хвост" будет тем длиннее, чем больше величина Ь.

Нагпядно продемонстрируем этот результат. Пусть f{a) - плотность распределения а, а f\E) - плотность распределения Е. Тогда в соответствии с хорошо известной формулой [см.: Kendall, 1945, р. 16-18] имеем:

(3-П23) (3-П24)

к-Е-т.

Если обозначить моды распределений а и £ через а иЁ соответственно, то

Ё<ка\(3-П25)

что свидетельствует о вытягивании правого "хвоста". Моду Е можно найти, продифференцировав уравнение (3-П24) и приравняв его к нулю. Обозначив производную точкой () над продифференцированной функцией, получаем следующее уравнение:

№) =

(E"-ff(a) + fia)-r

1 Ь

Е"-=0

(3-П26)

ubb-lf(aj

-7-7-.(3-П27)

к fia)

где а - значение а, которое соответствует Е. Поскольку все величины Е"*, k,b-l и f(a) должны быть положительными, то производная / (а) также должна быть положительной. Однако если распределение а унимодально, то производная /(а) положительна только при выполнении условия а < а, так как по определению / (а) = 0.

Конкретизируя обсуждение, рассмотрим два хорошо известных распределения. Если а распределено равномерно, то плотность распределения равна

<"=-

следовательно, из уравнения (3-П24) получаем:

(3-П28)

ЯЕ) =

.1/6-1

b{N,-N,)

(3-П29)



Равномерное распределение преобразуется в монотонно убывающее распределение, и скорость убывания будет тем выше, чем больше Ь. Это распределение имеет длинный "хвост" и по форме совпадает с распределением Парето за исключением того, что в Парето-распределении показатель степени меньше -2, тогда как 1/Ь - 1 > -1; еще ближе оно к распределениям, которые исследовали Ципф и Юп".

Если распределение а аппроксимируется нормальным, то моду распределения Е можно найти из соотношения**

,M+Vu-4(b-l)g 2

где и - математическое ожидание, а - стандартное отклонение а. Если

(3-ПЗО)

выполняется условие Ь-1>

, то мода распределения Е будет лежать в

начале координат, а само распределение £ также будет иметь длинный "хвост". При небольших b распределение Е будет достигать пика при значениях а между и/2 ни, а затем постепенно убывать.

5. Если эластичность (3 конечна, то уравнение (3-П18) принимает вид

Ьф+})

Е=:к"а; , а уравнение (3-П14) преобразуется к виду

(3-П31)

1957]" Р™™ нескольких распределений с длинными "хвостами" можно найти в [Simon,

во соотношение

Доказательство основывается на том, что для нормального распределения справедли-Тогда в соответствии с уравнением (3-П27);

а -и

•" Поскольку плотность распределения а не равна нулю при а = О, то плотность распределения Е будет стремиться к бесконечности при £ -> О и убывать к локальному минимуму при значении а, равном

fe(p+l)

C=k*d.(3-П32)

Распределения заработков и инвестиций по-прежнему различаются лишь константой. Поскольку выполняются соотношения

(3-ПЗЗ)

распределения Е и С по-прежнему будут более неравномерными и асимметричными, чем распределение а, однако различия будут меньше при Р = оо. При Ь-<>° показатели степени в (3-ПЗ I) и (3-ГО2) будут стремиться к Р + I.

6. Если все кривые спроса одинаковы, т.е. uj = а для всех j, то заработки будут определяться по формуле

Р(*-1)

.(3-П34)

Ej=k,aj

а объем вложений будет равен

(3-П35)

Эти распределения будут одинаковыми (с точностью до масштаба), только когда Р = О или Ь = °°.В противном случае, так как Ь > Р(6 - I), распределение С будет более неравномерным и асимметричным. Кроме того, поскольку P(fc - 1) < + Р (кроме случаев > 2 и Р > fc/fc - 2), распределение Е скорее всего будет менее асимметричным и более равномерным, чем распределение а. Сравнение уравнений (3-П31) и (3-П32) с уравнениями (3-П34) и (3-П35) показывает, что Е яС будут иметь более неравномерные и асимметричные распределения при одинаковом распределении кривых спроса Oj, чем при одинаковом распределении кривых предложения а,.

7. Если варьируются как о,, так и а, то Ej задается уравнением (3-П18), и дисперсия log Е будет равна

,,(,„,)=efc2la4log«)H-i.aog<.).

{b + f

{b + f

MlM±lli?(ioga, loga)a(loga)a(loga), (fc + P)

(3-П36)

где R - коэффициент корреляции между log a и log a. Неравномерность распределения E будет положительно связана не только с и Р и с дисперсией а и а, но и с корреляцией между а и а. Дисперсия log Е будет больше диспер-



СИИ либо log а, либо log а, если только a(log а) не будет много меньше alog а), коэффициент корреляции R не будет близок к -1, а величины Ь и Р не будут довольно малы.

Заметим, что равные в процентном отношении изменения о, и а, не затронут распределение Е (yi С), если не учитывать масштаб. Таким образом, изменения стоимости финансовых ресурсов или производительности человеческого капитала в масштабах экономики в целом, в одинаковом процентном отношении воздействующие на все средние нормы отдаЧй или все средние выплаты по долгам, могут оказывать существенное влияние на средние заработки и уровни капиталовложений, но при этом никак не затрагивать распределение вокруг средних значений. Поэтому привычное при обсуждении распределения заработков акцентирование различий в навыках в рамках нашей модели теряет какой-либо смысл, поскольку эти различия "схватываются" средними нормами отдачи.

Асимметрия распределения Е будет тем больше, чем больше асимметрия распределений а и а и чем больше величины Ь,иК. Например, если а и а имеют логарифмически-нормальное распределение, то распределение Е также будет логарифмически-нормальным, причем его асимметрия будет положительно связана с дисперсией логарифмов а я а, которая, согласно уравнению (3-П36), положительно связана с R. Вместе с тем, если коэффициент корреляции между log д и log а равен единице, то они будут связаны по формуле постоянной эластичности

aj=gaj, g,d>0,(3-П37)

и тогда Ej можно представить в виде

Ej=ka].,(3-ПЗ 8)

Ьф + 1) P(b-l)

ы-р ь + р •

При данном распределении Uj уравнение (3-П38) имеет тот же вид, что и (3-П31): если Uj распределено равномерно, то оба распределения будут относиться к классу монотонно убывающих распределений Юла - Ципфа, а если UJ распределено нормально, то оба распределения будут асимметричными с модами, определяемыми уравнением (3-ПЗО). Однако неравномерность и асимметрия распределения Е из (3-ПЗ8) всегда больше, чем из (3-ПЗ 1), и это различие тем больше, чем больше d, эластичность а по а.

8. Вклад инвестиций в человеческий капитал в "прибьшь" измеряется не общим доходом, а разницей между ним и совокупными выплатами по долгу:

. .....(3-ГО9)

ОднакоРпЕ имеют одинаковые распределения (с точностью до масштаба), поэтому все результаты, полученные в предыдущих разделах, применимы как к Р, так якЕ. Для того чтобы доказать это, сначала просто подставим (3-ПП)в(3-П39):

(3-mQ)

а затем подставим оптимальное значение С/.

1 Р(Ь-) ,+Ё(Ы1

.Ьф+1)

б(р+1) ь+р

P(t>-1) МР+1)

(3-П41)

(3-П42)

Таким образом, если не учитывать различие масштабов, то Р, в уравнении (3-П42) в точности равно Ej из уравнения (3-П18).

9. Задача максимизации совокупных заработков при данном объеме капиталовложений имеет вид

MaxEXySoC,

при том, что

Отсюда получаем необходимое условие:

(3-П43)

J- = X длявсеху.

где X - предельная норма отдачи, те.

=7 +С = Х длявсеху.

дсГ Щ

Уравнение (3-П45) можно записать как

(3-П44)

(3-П45)

(3-П46)

Уравнение (3-П46) необходимо выполняется либо при Г Р = о., либо при а, = . для всех; и Ь = с. Если оба параметра « Р « тельны и конечны, а а, и а, изменяются, то уравнение (3-П46) может вып

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110]