В{к, О = min -
hSfe
2i(f-Jh
k=ift, + . w-1. =0. 1. 2.....k;
(в(к + 1 i + n + ,.i}4 + (5(A + l, i) + q,J\
B(k,i) =
Л: = 0, 12, l-l 1 = 0,1,2..... k.
2. Досрочно погашаемые облигации (облигации с офертой).
Предполагается, что держатель облигации имеет право продать ее эмитенту в одни из моментов
гЛ 1!.....
по заранее установленным ценам ЛГ/, A+i,.., Х„ ,
Если B(kJ) - стоимость досрочно погашаемой облигации в
момент г + {к- О, 1, 2, л) при условии, что г(г)=5е".
0 = 0, 1,2, Л), то
B{n,i) = А, 1=0, 1. 2. п О--номинал облигации);
(t. О = max
= 0. o + l «-b =0. 1, 2.....A:;
Л = 0. 1, 2. ..../o-l, / = 0,1.2...../г.
3. Облигации со встроенными кэпими- Кэп номиналом А на процентную ставку при уровне исполнения х представляет собой финансовый инструмент, по которому в моменты Г] = г + А,= + kh, г / + иА обешают выплачивать следующие денежные суммы:
ЛАтах {гДА)-л:, о}..... Актш\г{Н)-х, О
ААшах г (А-л, о}
Если Щк, 1} - стоимость кэпа в момент г + (А + 1)А {Лг = О,
2, к), то
1,2,п-1) при условии, что **HAA(A) = 2(i) = 5ft" (( = 0,1,
U{n-\,i)~ Ahm&\
-X, о
1=0. 1, 2.....П\\
t/(A,0 = Amax{v"-x. о}+
C/<t+l, j + l) 1 i7(it + l, О
к=0, 1. 2. .... fi-2, / = 0. 1. 2.....к.
Текущая стоимость кэпа определяется по формуле
Покупка облигации со встроенным кэпом эквивалентна покупке соответствуюшей безопционной облигации с рыночной купонной ставкой н продаже кэпа на рассматриваемую рыночную процентную ставку. Стоимость облигации со встроенным кэпом равна разности между номиналом облигации и стоимостью кэпа, встроенного в эту облигацию.
4. Облигации со встроенным флором. Флор номиналом А иа процентную ставку при уровне исполнения х представляет собой финансовый инструмент, по которому в моменты
Г - Г + А, = г + kh, т„ = г + лА обещают выплачивать денежные суммы
Ahmu\\x-r- О
V*я -I
1, 2, п-1), при условии, что r„t,,(A) = Zi(0=jte* 0 = 0,
Если W(k, f) - стоимость кэпа в момент t-(k+ 1)А (к = О,
:.....п - 1),
1, 2, Аг), то
, ( = 0.1. 2, л-1;
Wik+\, i +
W(k + l i)
t = 0, 1, 2, .... n-2, i = 0, 1. 2.....k.
Текущая стоимость флора определяется по формуле
Покупка облигации со встроенным флором эквивалентна покупке соответствующей безопциоииой облигации с рыночной купонной ставкой и покупке флора на рассматриваемую рыночную процентную ставку. Стоимость облигации со встроенным флором равна сумме номинала облигации и стоимости флора, встроенного в эту облигацию-
23.1. Дана 6%-ная купонная облигация с годовыми купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 4 года. Волатильиость процентной ставки иа 1 год оценивается в 20%, а
параметры биномиальной модели процентной ставки , Й, Sj, 63 равны 5,6; 5,9; 6,2 и 5,8% соответственно.
Определить текущую стоимость облигации, если она может быть:
а)отозвана через 1 год по номиналу;
б)предъявлена к погашению через 1 год по номиналу,
23.2.Дана 6%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 500 долл,, до погашения которой остается 2 года. Волатильность процентной ставки иа полгода оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентиой ставки Stj, 1, 5} равны 5,6; 5,9; 5,8 н 5,6% соответственно.
Определить текущую стоимость облигации, если она может быть:
а)отозвана через полгода по номиналу;
б)предъявлена к погашению через полгода по номиналу.
23.3.Дана 8%.-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., до погашения которой остается 2 года. Годовая волатильность процентной ставки иа полгода оценивается в 5%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 5j, 5, 5j равны 7,0; 7,2; 7,4 и 7,3% соответственно.
Найти «спред с учетом опциона», если облигация может быть отозвана через полгода по номиналу, а ее рыночная стоимость равна 1002.65 долл. («Спред с учетом опциона» - это надбавка ко всем форвардным процентным ставкам биномиальной модели, при которой теоретическая стоимость отзывной облигации равна ее рыночной стоимости.)
234. При условиях задачи 23,3 найти «спред с учетом опциона», если облигация может быть предъявлена к погашению через полгода по номиналу, а ее рыночная стоимость равна 1006,14 долл.
23.5. Волатильность рыночной процентной ставки на 1 год оценивается в 10%, а параметры биномиальной модели процентной ставки ф),равны 6,5; 6,8; 7,0 и 7,4% соответствеиио.
Определить текущую стоимость:
а)кэпа номиналом 5СЮ долл. при уровне исполнения 7,8%;
б)флора номиналом 500 долл. при уровне исполнения 7,8%.
23.6, Волатильнсхлъ рыночной процентной ставки на полгода оценивается в 10%, а параметры биномиальной модели процентной ставки , 1, 82, 5 равиы 6,5; 6,8; 7,0 и 7,4% соответственно.
Определить текущую стоимость:
а)кэпа номиналом 500 долл. при уровне исполнения 7,8%;
б)флора номиналом 500 долл. при уровне исполнения 7,8%..
23Л. Дана облигация с плавающей купонной ставкой на полгода номиналом 500 долл., до погашения которой остается 2 года. Плавающая купонная ставка определяется биномиальной моделью с параметрами 7,6; 8,2; 8,4 и 8,6%, волатильность купонной ставки оценивается в 12%.
Определить текущую стоимость облигации, если в нее встроен:
а)кэп при уровне исполнения 8,5%;
б)флор при уровне исполнения 8,5%.
4.24, ОЦЕНКА СТОИМОСТИ КОРПОРАТИВНЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ (ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ)
В простейшем случае оценка стоимости корпоративных ценных бумаг производится при условии, что фирма к текущему моменту t выпустила только две ценные бумаги: облигацию с нулевым купоном и номиналом F, дата погашения которой Т. и обыкновенную акцию по которой вплоть до ее погашения ие выплачиваются дивиденды.
Если отсутствуют прибыльные арбитражные возможности на рынках и можно пренебречь затратами на реорганизацию фирмы в случае ее дефолта, то:
* обыкновенная акция, выпущенная фирмой, эквивалентна европейскому опциону «колл» иа активы фирмы с ценой исполнения F при дате истечения Г;
облигация, вьшущенная фирмой, эквивалентна нивестицин
денежной суммы Fe~~ под безрисковую процентную ставку 7 на срок в Г - г лет и продаже европейского опциона «пут» на активы фирмы с ценой исполнения F и датой истечения Т.
Если считать, что стоимость активов фирмы определяется геометрическим броуновским движением, то текущие стоимости акции S, и стоимость облигации В, можно оценить следующим образом:
B,Fe--*
N(d.) +
Ni-d.)
где V - текушая стоимость активов фирмы; о - годовая волатильность этой стоимости.
Премия за дефолт-риск Я,, выплачиваемая держателям облигации, может быть определена по формуле
24.1. К текущему моменту фирма выпустила две ценные бумаги: бездивидендиую обьцсновенную акцию н облигацию с нулевым купоном номиналом 60 млн долл. До погашения облигации остается 3 года, текущая стоимость активов фирмы равна 100 мли долл., а волатильность активов фирмы оценивается в 50%. Безрисковая процентная ставка при непрерывном начислеинн равна 7%.
Определить:
а)текущие стоимости акции и облигации, выпущенных фирмой;
б)премию за дефолт-риск, выплачиваемую держателям облигаций.