Для покупателя стоимость облигации через время t после очередной купонной выплаты состоит из котируемой цены н «на-
копленных процентов» ---q которые прямо пропорциональны
числу дней прошедших после очередной купонной выплаты, и обратно пропорциональны числу дней N2 между соседними купонными выплатами.
7.1,По 10%-ной купонной облнгацнн номиналом 1000 долл, обещают производить ежегодные купонные выплаты в течение 5 лет. Внутренняя доходность этой облигации равна 12% н £0 временем не изменяется.
Определить:
а)размер дисконта после каждой купонной выплаты, т.е. D. 1>4. Dj. D2. Di, £>о;
б)значения изменений дисконта в каждом из перечисленных случаев.
Выполнить рисунок.
7.2.По 10%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл. обещают производить ежегодные купонные выплаты в течение 10 лет. Внутренняя доходность этой облнгацнн равна 8% и остается постоянной до момента погашения облигации.
Определить:
а)размер премии после каждой купонной выплаты, т.е, П], Ц»,..., П„ По;
б)значения изменений премии в каждом из перечисленных случаев.
Выполнить рисунок.
13, Две 10%-ные купонные облигации А и В, каждая номиналом 1000 долл. и с годовой внутренней доходностью 8%, имеют сроки до погашения 10 и 20 лет соответственно.
Определить размер премии для каждой облигации в текущий момент и через год после этого, а также сравнить изменения премий для этих облигаций, если купонные платежи производятся ежегодно, а внутренняя доходность не изменяется.
7.4.Две 10%-ные купонные облигации А и В, каждая номиналом 1000 долл, и годовой внутренней доходностью 12%, имеют сроки до погашения 15 н 20 лет соответственно.
Определить размер дисконта для каждой облигации в текущий момент и через год после этого, а также сравнить изменения дисконтов для этих облигаций, если купонные платежи производятся 2 раза в год, а внутренняя доходность не изменяется.
7.5.До погашения облигации, купоны по которой оплачиваются 4 раза в год, остается 25 лет. Внутренняя доходность облигации составляет 7%, а ее рыночная стоимость - 1025 долл.
Найти стоимость облигации через 10, 40, 60 и 80 дней после текущего момента, если ее внутренняя доходность не изменяется (число дней в году считать равным 360).
7.6.По 10%-иой купонной облигации номиналом 1000 долл. обещают в конце каждого квартала производить купонные выплаты в течение 5,2 года. Внутренняя доходность облигации равна 8% и не изменяется до погашения облигации.
Найти котируемую цену данной облигации и величину «накопленных процентов», которую должен оплатить покупатель.
1.8. ДЮРАЦИЯ И ВЫПУКЛОСТЬ ОБЛИГАЦИИ
Если г - внутренняя доходность облигации при начислении процентов т раз в год, то дюрация Маколея и выпуклость Маколея облигации определяются следующими равенствами;
где ПГ„(С,,) =
- приведенное значение платежа с,.;
Р{г) - текущая рыночная стоимость облнгацнн.
Если абсолютная величина изменения внутренней доходности облигации Дг достаточно мала, то относительное изменение стоимости облигации можно оценить с помощью дюрацни и выпуклости облигации:
АР Р(г)
или -= -D
Р{г)
1 +
где АР = Р{г-i-Аг) - Р{г).
Если г - внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении, то дюрация и выпуклость облигации определяются следующими равенствами:
Се""
к=1*=
Р(г)
При этом
Р{у)Pir)2
Дюрацию и выпуклость купонной облигации, по которой купоны оплачиваются т раз в год принято определять при начислении процентов m раз в год, если не оговорено противное.
8.1.Определить дюрацию и выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность при начислении процентов 2 раза в год равна 4%, а поток платежей приведен ниже.
Срок,годы0,51,01,21,42,0
Платеж, долл, 5666106
8.2.Определить дюрацию н выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность при начислении процентов 4 раза в год равна 6%, а поток платежей имеет следующий вид:
Срок, годы Платеж, долл.
0,5 4
1,0 10
1,5 4
2,0 10
3,0 110
Оценить (двумя способами) относительное изменение стоимости облигации при увеличении внутренней доходности облигации на 60 б.п. (б.п. - базисный пункт, сотая доля процента),
8.3. Определить дюрацню и выпуклость облигации, если ее внутреиняя доходность при непрерывном начислении равна 5%, а поток платежей приведен ниже.
Срок, годы Платеж, долл.
1,0 10
2,0 10
3,0 10
4,0 10
5,0 10
6,0 100
Оценить стоимость облигации, если внутренняя доходность облигации уменьшится на 80 б п.
8.4. Определить дюрацию и выпуклость облигации при начислении процентов один раз в год, если поток платежей по облигации приведен ниже.
Срок, годы Платеж, долл.
0,0 -1000
0,5 30
1,0 30
1,5 30
2,0 30
2,5 30
3,0 1030
Оценить (двумя способами) относительное изменение стоимости облигации прн уменьшении внутренней доходности на 120 б.п.
8.5.Определить дюрацию и выпуклость облигации при начислении процентов 2 раза в год, если поток платежей по облигащш имеет вид:
Срок,годы0,0 0.5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Платеж, долл. -1000 40 40 40 40 40 40 40 1040
8.6.Найти дюрацию и вьптуклость облигации при непрерывном начислении, если поток платежей по облигации приведен ниже.
Срок, годы0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Платеж, долл. -100 5555 105
8.7.Даиа 6%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл., по которой купоны оплачиваются 2 раза в год в течение 3 лет. Известно, что облигация продается по номиналу.
Определить дюрацню и показатель выпуклости облигации. Найти относительное изменение стоимости облигации точно н приближенно при изменении внутренней доходности на Дг = 0,01; 0,02 и-0,01.
8.8.Дана 8%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл., по которой купоны оплачиваются дважды в год в течение 5 лет. Внутренняя доходность облигации равна 10%.
Найти:
1)дюрацию и выпуклость облигации;
2)относительные изменения стоимости облигации (точно и приближенно) при нзмеиеннях внутренней доходности на Дг = 0,005; 0,01 и 0,03.
8.9.Все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 6% (при начислении процентов дважды в год). Текушая рыночная стоимость облигации Р = 1000 долл., ее дюрация 2>2 - 3,5 года, а выпуклость Сз = 25,43.
Оценить стоимость облигации, если все безрисковые процентные ставки изменятся на Дг = 0005 и -,010.
8.10.Все безрнсковые процентные ставки одинаковы и равны 8% (при непрерывном начислеинн процентов). Текущая рыночная стоимость облигации Р = 1000 долл., ее дюрация = 5,62 года, а выпуклость С„ ~ 45,78.
Оценить стоимость облигации, если все безрисковые процентные ставки изменятся на Дг = 0,01; 0,02 и -0,005.
8.11.По ренте должны выплачивать одну и ту же денежную сумму т раз в год в течение п лет.
Доказать, что
1>„--а-
где г - внутренняядоходностьренты при начислении W раз в год.
8.12. По ренте должны выплачивать одну н ту же дсвсжпуЦ сумму 4 раза в год в течение 30 лет.
Найти дюрацию ренты, если се внутренняя доходность при начислении 4 раза в год равна 5%).
1.9, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЮРАЦИИ И ВЫПУКЛОСТИ ОБЛИГАЦИЙ
Ь Дюрация любой облигации не превышает срока ее погашения. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку ее погашения.
2.Чем больше внутренняя доходность облигации, не являющейся чисто дисконтной, тем меньше дюрация и выпуклость облигации.
3.Если все платежи по облигациям отсрочить на одно и то же время - на т лет, не меняя внутренней доходности облигации, то
се дюрация увеличится иа глет, а выпуклость - на +2тЛ + , где D - дюрация исходной облигации.
4.Имеет место неравенство
C(r)>Dl(r)+-D{r), т
где г - внутренняядоходность облигации при начислении процентов
т раз в год.
5.Если до погашения купонной облигации остается более одного купонного платежа, то чем больше купонная ставка при неизменной внутреиней доходности, тем меньше дюрацня н выпуклость облигации.
6.Пусть £>„ - дюрация купонной облигации, купоны по которой оплачиваются т раз в год, когда до ее погашения остается
лет,п= 1,2, ... , Тогда
1)lim£)„ =-;
2)последовательность является возрастающей, если купонная ставка облигации / больше или равна ее внутренней доходности.