назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [ 39 ] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]


39

4.21. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

ЭВОЛЮЦИИ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ

Пусть Zfih) - форвардная процентная ставка на h лет; наблюдаемая в момент t + kh, к = О, 1,2, .

Бнномнальная модель процентной ставки определяется сл дующими условиями:

если zUf)5, e,то

52(M.ffVft с вероэтностъю ,

с вероятностью ,

Л = 1,2,..., 1 = 0,1,2,...,к,

где 4 - наименьшее возможное значение процентной ставки в периоде [t + kk, t + (к+ \Щ, к = \,2, о - годовая волатильность рассматриваемой процентной ставки.

1. Оценка стоимости стандартной облигации в условиях биномиальной модеш.

Дана купонная облигация номиналом А., купоны по которой

оплачиваются т раз в год {н = у когда до ее погашения остается nh лет.

Если B{k,i) - стоимость облигации в момент i + АгЛ, после оплаты купона, при условии, что Zi,{h)=k" где Jt = 1, 2,п, 1-0, 1,2,Л, то

ВШ)А, i = 0X2.....п;

{В{.к+и\)й.х)Ыв{к+и)Ч,Л

B{k,i)

i+hSke

гдеА:=1, 2, п-1 i = О, 1, 2, h,

Як*\ купонный платеж в момент / + (А: + l)h.

2. Построение биномиальной модели процентной ставки при из-вестной годовой волатильности процентной ставки а

Даны рыночные доходности г у, г;, г„ при начислении про-

центов т раз в год соответственно на сроки Н,2К . "А

Процентная ставка 8 выбирается равной г,. Ставка 5 подбирается так, чтобы стоимость облигации с нулевым купоном, погашаемой через 2Н лет, найденная по биномиальной модели с параметрами о; и совпала с рыночной стоимостью этой облн-

гации -т. Ставку следует выбрать так, чтобы стоимость

облигации с нулевым купоном, погашаемой через Зй лет, найденная по биномиальной модели с параметрами а, , 5, н , совпала

с ее рыночной стоимостью --г н т.д.

<1+ЛгзГ

21Л. Построить четырехэтапную биномиальную модель эволюции процентной ставки на полгода, если волатильность процентной ставки оцениваются в 15%, а параметры , б,, 5j и 64 равны соответственно 7; 7,2; 7,5; 8; 8,2%,

21.2. Прн условиях биномиальной модели, построенной в задаче 21.1, найтн стоимость 9%-ной купонной облигации номиналом 200 долл. с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 2,5 года.

21Л Построить биномиальную модель эволюции процентной ставки на полгода, если рыночные стоимости облигаций с нулевыми купонами номиналом 100 долл., погашаемых через 0,5, 1 и 1,5 года, равны соответственно 96,62; 92,77 и 88,82 долл., а годовая волатильность процентной ставки принимает значения; а) 18%, б) 25%.

21.4. Построить биномиальную модель процентной ставки на год, если волатильность процентной ставки равна 10%, а рыночные доходности на 1, 2, 3 и 4 года равны соответственно 6,00; 6,606; 7,272 и 8%.



21.5.В условиях биномиальной модели процентиой ставки, построенной в задаче 21.4, найти стоимость 8%-ной купонной облигации номиналом 100 долл. с годовыми купонами, до лога-шеи ия которой остается 4 года.

Сравнить найденную стоимость облигации со стоимостью, оп-р>еделяемой рыночными доходностями при условиях задачи 21.4.

21.6,Дана биномиальная модель процентной ставки на h лет с параметрами: сг, , 5, 5j, ... .

Найти математическое ожидание форвардной процентной ставки Ziih) и ее стандартное отклонение, А: = О, 1, 2, ... .

4.22. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ НА ОБЛИГАЦИИ В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

Дана облигация без дефолт-риска с купонами, оплачиваемыми т раз в год, до погашения которой остается лет.

Эволюция процентной ставки на к лет Л = ) опредяется биномиальной моделью с параметрами а, , ,

Еслн В{к i) - стоимость облигации в момент t + kh при условии, что форвардная процентная ставка (/) равна г, где i = О, 1, 2,к, то

5(п.) = А, 1 = 0, 1, 2.....л;

(В(к+и +1) + q,,, ) + {В{к +1.0 + ,1 )i

jt = 0, 1..... rt-1, i = 0, 1.....к.

1. Оценка стоимости европейских опционов «кодд» и «нут» на купонную облигацию. Цена исполнения опщюнов X, дата истечения опционов + (/ ,n>i

Еслн с(к, i)ttp [к, О - стоимости европейских опционов «колл» Я«пут» в момент(кО при условии, что Zi{i) = Ske°,

где J = О, 1, 2,к, то

сН, 0 = тах{В(/, i)-X, О };

/) = тах {Х-Ва, i), О }, / = 0. 1, 2...../;

ci.k. 0 =

с{к + \, (Ч1)-+с(А+1. о

р{к + 1 / + l)-+;»(fc + U i)j к = 0, \, 2, l-l i = 0, i, 2.....к.

P(k, 0 =

2. Оценка стоимости бермудских опционов «колл» и «пут» на купонную облигацию. Бермудский опцион «колл» («пут») на данную облигацию предоставляет его держателю право купить (продать) облигацию в один нз следуюших моментов:

t+k t+kH.....+1. о</о</<«,

по ценам соответственно равным Х, -/о-кь i-

Еслн c(fc,0 и p{k,i) - стоимости бермудских опционов «колл»

н «пут» на купонную облигацию при условии, что (i) = 5 , где/ = 0, 1,2, Л, то

с(/, ) = 1пах15(/, 0-X, 0):

р{1 ) = 1пах{Х;-В(?, i\ 0), i = 0, 1. 2,

с {к, f) = raax

(t + l, i+l)-+?(Jt+l, О-22



?<a. 0 =--------

pik, 0 =

t = 0, 1. 2, /o-l; " = 0, 1, 2, A.

22Л. Дана 6%-ная купонная облигация с годовыми купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 4 года.

Найти стоимости трехлетних европейжих опционов «колл» и «пуп> иа данную облигацию с ценой нсполнення 470 долл., если волатильность процентной ставки иа I год оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентной ставки t/, dy, равны соответственно 5,6; 5,9; 6,2 и 6,4%.

22.2.При условиях задачи 22.1 определить стоимости опционов, считая их бермудскими опционами, исполняемыми через 1, 2 и 3 года по цене 470 долл.

22.3.Дана 6У«-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 2 года.

Найти стоимости полуторалетних европейских опционов «колл» и «пут» на данную облигацию с ценой исполнения 490долл., если волатильность процентной ставки иа полгода оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентной ставки St, S], Si равны соответственно 5,6; 5,9; 6,2 и 6,4%.

22.4.При условиях задачи 22.3 определить стоимость опционов, считая их бермудскими опционами, исполняемыми через 0,5, 1 и 1,5 года по цене 4&5 долл.

22.5, Дана 9%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом ЮОО долл., до погашения которой остается 2,5 года.

Найти стоимости бермудских опционов «колл» и «пут» на данную облигацию, исполняемых через I, 1,5 и 2 года по цене 1000 долл., если волатильность процентной ставки на полгода оценивается в 10%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 5,, 5j, 5* равны соответственно 7,8; 8,2; 8,2; 7,8 и 7,6%.

4.23. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОБЛИГАЦИЙ СО ВСТРОЕННЫМИ ОПЦИОНАМИ

Дана облигация с купонами, оплачиваемыми т раз в год и до погашения которой остается лет.

Эволюция процентной ставки на fi лет

определяется

биномиальной моделью с параметрами о, 5,, 4-! - годовая волатильность процентной ставки; - наименьшее значение

форвардной процентиой ставки через лет).

1. Отзывные облигации. Предполагается, что эмитент имеет право выкупить облигацию в один нз моментов

по заранее установленным ценам ЛГ,д, if+b ••• » n-i-

Если В(к, i) - стоимость отзывной облигации в момент t -ь-

(А = О, 1, 2,л) при условии, что форвардная процентная ставка г.(/) принимает значение йе"" (j = О, 1, 2,к), то Б{п, О = , = 0.1,2.....п (Л - номинал облигации);

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [ 39 ] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]