4.21. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
ЭВОЛЮЦИИ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Пусть Zfih) - форвардная процентная ставка на h лет; наблюдаемая в момент t + kh, к = О, 1,2, .
Бнномнальная модель процентной ставки определяется сл дующими условиями:
если zUf)5, e,то
52(M.ffVft с вероэтностъю ,
с вероятностью ,
Л = 1,2,..., 1 = 0,1,2,...,к,
где 4 - наименьшее возможное значение процентной ставки в периоде [t + kk, t + (к+ \Щ, к = \,2, о - годовая волатильность рассматриваемой процентной ставки.
1. Оценка стоимости стандартной облигации в условиях биномиальной модеш.
Дана купонная облигация номиналом А., купоны по которой
оплачиваются т раз в год {н = у когда до ее погашения остается nh лет.
Если B{k,i) - стоимость облигации в момент i + АгЛ, после оплаты купона, при условии, что Zi,{h)=k" где Jt = 1, 2,п, 1-0, 1,2,Л, то
ВШ)А, i = 0X2.....п;
{В{.к+и\)й.х)Ыв{к+и)Ч,Л
B{k,i)
i+hSke
гдеА:=1, 2, п-1 i = О, 1, 2, h,
Як*\ купонный платеж в момент / + (А: + l)h.
2. Построение биномиальной модели процентной ставки при из-вестной годовой волатильности процентной ставки а
Даны рыночные доходности г у, г;, г„ при начислении про-
центов т раз в год соответственно на сроки Н,2К . "А
Процентная ставка 8 выбирается равной г,. Ставка 5 подбирается так, чтобы стоимость облигации с нулевым купоном, погашаемой через 2Н лет, найденная по биномиальной модели с параметрами о; и совпала с рыночной стоимостью этой облн-
гации -т. Ставку следует выбрать так, чтобы стоимость
облигации с нулевым купоном, погашаемой через Зй лет, найденная по биномиальной модели с параметрами а, , 5, н , совпала
с ее рыночной стоимостью --г н т.д.
<1+ЛгзГ
21Л. Построить четырехэтапную биномиальную модель эволюции процентной ставки на полгода, если волатильность процентной ставки оцениваются в 15%, а параметры , б,, 5j и 64 равны соответственно 7; 7,2; 7,5; 8; 8,2%,
21.2. Прн условиях биномиальной модели, построенной в задаче 21.1, найтн стоимость 9%-ной купонной облигации номиналом 200 долл. с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 2,5 года.
21Л Построить биномиальную модель эволюции процентной ставки на полгода, если рыночные стоимости облигаций с нулевыми купонами номиналом 100 долл., погашаемых через 0,5, 1 и 1,5 года, равны соответственно 96,62; 92,77 и 88,82 долл., а годовая волатильность процентной ставки принимает значения; а) 18%, б) 25%.
21.4. Построить биномиальную модель процентной ставки на год, если волатильность процентной ставки равна 10%, а рыночные доходности на 1, 2, 3 и 4 года равны соответственно 6,00; 6,606; 7,272 и 8%.
21.5.В условиях биномиальной модели процентиой ставки, построенной в задаче 21.4, найти стоимость 8%-ной купонной облигации номиналом 100 долл. с годовыми купонами, до лога-шеи ия которой остается 4 года.
Сравнить найденную стоимость облигации со стоимостью, оп-р>еделяемой рыночными доходностями при условиях задачи 21.4.
21.6,Дана биномиальная модель процентной ставки на h лет с параметрами: сг, , 5, 5j, ... .
Найти математическое ожидание форвардной процентной ставки Ziih) и ее стандартное отклонение, А: = О, 1, 2, ... .
4.22. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ НА ОБЛИГАЦИИ В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Дана облигация без дефолт-риска с купонами, оплачиваемыми т раз в год, до погашения которой остается лет.
Эволюция процентной ставки на к лет Л = ) опредяется биномиальной моделью с параметрами а, , ,
Еслн В{к i) - стоимость облигации в момент t + kh при условии, что форвардная процентная ставка (/) равна г, где i = О, 1, 2,к, то
5(п.) = А, 1 = 0, 1, 2.....л;
(В(к+и +1) + q,,, ) + {В{к +1.0 + ,1 )i
jt = 0, 1..... rt-1, i = 0, 1.....к.
1. Оценка стоимости европейских опционов «кодд» и «нут» на купонную облигацию. Цена исполнения опщюнов X, дата истечения опционов + (/ ,n>i
Еслн с(к, i)ttp [к, О - стоимости европейских опционов «колл» Я«пут» в момент(кО при условии, что Zi{i) = Ske°,
где J = О, 1, 2,к, то
сН, 0 = тах{В(/, i)-X, О };
/) = тах {Х-Ва, i), О }, / = 0. 1, 2...../;
ci.k. 0 =
с{к + \, (Ч1)-+с(А+1. о
р{к + 1 / + l)-+;»(fc + U i)j к = 0, \, 2, l-l i = 0, i, 2.....к.
P(k, 0 =
2. Оценка стоимости бермудских опционов «колл» и «пут» на купонную облигацию. Бермудский опцион «колл» («пут») на данную облигацию предоставляет его держателю право купить (продать) облигацию в один нз следуюших моментов:
t+k t+kH.....+1. о</о</<«,
по ценам соответственно равным Х, -/о-кь i-
Еслн c(fc,0 и p{k,i) - стоимости бермудских опционов «колл»
н «пут» на купонную облигацию при условии, что (i) = 5 , где/ = 0, 1,2, Л, то
с(/, ) = 1пах15(/, 0-X, 0):
р{1 ) = 1пах{Х;-В(?, i\ 0), i = 0, 1. 2,
с {к, f) = raax
(t + l, i+l)-+?(Jt+l, О-22
?<a. 0 =--------
pik, 0 =
t = 0, 1. 2, /o-l; " = 0, 1, 2, A.
22Л. Дана 6%-ная купонная облигация с годовыми купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 4 года.
Найти стоимости трехлетних европейжих опционов «колл» и «пуп> иа данную облигацию с ценой нсполнення 470 долл., если волатильность процентной ставки иа I год оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентной ставки t/, dy, равны соответственно 5,6; 5,9; 6,2 и 6,4%.
22.2.При условиях задачи 22.1 определить стоимости опционов, считая их бермудскими опционами, исполняемыми через 1, 2 и 3 года по цене 470 долл.
22.3.Дана 6У«-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 2 года.
Найти стоимости полуторалетних европейских опционов «колл» и «пут» на данную облигацию с ценой исполнения 490долл., если волатильность процентной ставки иа полгода оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентной ставки St, S], Si равны соответственно 5,6; 5,9; 6,2 и 6,4%.
22.4.При условиях задачи 22.3 определить стоимость опционов, считая их бермудскими опционами, исполняемыми через 0,5, 1 и 1,5 года по цене 4&5 долл.
22.5, Дана 9%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом ЮОО долл., до погашения которой остается 2,5 года.
Найти стоимости бермудских опционов «колл» и «пут» на данную облигацию, исполняемых через I, 1,5 и 2 года по цене 1000 долл., если волатильность процентной ставки на полгода оценивается в 10%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 5,, 5j, 5* равны соответственно 7,8; 8,2; 8,2; 7,8 и 7,6%.
4.23. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОБЛИГАЦИЙ СО ВСТРОЕННЫМИ ОПЦИОНАМИ
Дана облигация с купонами, оплачиваемыми т раз в год и до погашения которой остается лет.
Эволюция процентной ставки на fi лет
определяется
биномиальной моделью с параметрами о, 5,, 4-! - годовая волатильность процентной ставки; - наименьшее значение
форвардной процентиой ставки через лет).
1. Отзывные облигации. Предполагается, что эмитент имеет право выкупить облигацию в один нз моментов
по заранее установленным ценам ЛГ,д, if+b ••• » n-i-
Если В(к, i) - стоимость отзывной облигации в момент t -ь-
(А = О, 1, 2,л) при условии, что форвардная процентная ставка г.(/) принимает значение йе"" (j = О, 1, 2,к), то Б{п, О = , = 0.1,2.....п (Л - номинал облигации);