назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]


35

13.4.Рыночная стоимость пятимесячного европейского опциона «колл» на бездивидендную акцию при цеие исполнения 100 долл. равна 10J9 долл. Текущая цена акции - 100 долл., а безрисковая процентная ставка 7 = 8%.

Найти:

а)неявную волатильность исходной акцни;

б)стоимость четырехмесячного американского опциона «пут» на данную акцню с ценой исполнеиня 102 долл.. когда текущая цеиа акции - 101 долл,, а безрнсковая процентная ставка 7 = 9% {использовать четырехэтапную биномиальную модель).

13.5.Даны европейские опционы «колл» н «пут» на одни и те же активы с див1щендиой доходностью q. Цена исполнения опционов X, а дата истечения Т.

Доказать, что существует значение ст, прн котором теоретические стоимости опционов совпадают с их рыночными стоимостями.

13.6.Дан двухмесячный америкаискнй опцион «колл» на обмен 1000 английских фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,8 долл. Текущий обменный курс - 1,85 долл. Безрисковые процентные ставки в Великобритании и США при непрерывном начислении равны соответственно 8 н 6%.

Оценить волатильность исходных активов, если рыночная стоимость американского опциона равна 61,15 долл. (использовать четырехэтапную биномиальную модель).

4Л4. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ НА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ

Опционы на фьючерсные контракты принято называть фыочерсньши опционами.

Держатель фьючерсного опциона «колл» в момент его исполнения получает длинную позицию в исходном фьючерсном контракте и денежную сумму в размере разности между фьючерсной ценой на момент исполнения опциона и ценой его нсполиення.

Держатель фьючерсного опциона «пут» в момент его исполнения получает короткую позицию в исходном фьючерсном кон-

тракте и денежную сумму в размере разности между ценой исполнения опциона н фьючерсной ценой.

Доход держателя европейских фьючерсных опциов «колл» и «пут» в момент его истечения составляет

тах{Фг-А, 0}и тах{Л-Фг, 0).

Если активы, положенные в основу исходного фьючерсного контракта, обладают постоянной и непрерывной дивидендной доходностью f, а их цена определяется геометрическим броуновским движением

,2 >

(т-0+<у{иг(й))-и,(й>) \

то фьючерсная цеиа этих активов также определяется геометрическим броуновским движением

In Фу =1пФ +

(г-г)-ь<т{н((о)-иДй»)},

гдеФ, =Ф, а-а-(г->.

Прн отсутствии арбитражных возможностей фьючерсный опцион эквивалентен обычному опциону на активы, дивидендная доходность которых совпадает с безрисковой процентиой ставкой.

В частности, для европейских фьючерсных опционов на активы, цеиа которых определяется геометрическим броуновским движением, имеют место следующие формулы:

ce-N{di)-XN{,d2) \ p = e--{XN(-d2 )-ФЩ-d)},

где di-

1; ddy-aTt.



14Л. Найти стоимости фьючерсных опционов всех видов на акцию, волатильность которой равна 49,2 % при следующих данных: А" = 70 долл., Ф = 66 долл,, Т- I = Ь мес., г = 7%,

14.2.Определить стоимости фьючерсных опционов всех видов на обмен 1000 английских фунтов прн следующих данных:

X = 1,6 долл,, Ф = 1,62 долл., T-t = 4 мес., г = 8%, = 6% (в Великобритании)» а = 20%.

14.3.Пусть сир-стоимости европейских фьючерсных опционов «колл» и «пут» на одни и те же активы с ценой исполнения X при дате истечения Т.

Доказать, что с = р, если текущая фьючерсная цеиа активов совпадает с ценой исполнения опционов.

14.4.Пусть С и Р - стоимости американских фьючерсных опционов «колл» и «пут» на одни и те же активы с цеиой исполнения X при дате истечения Г.

Доказать, что

-riT-t)

-Х<С-Р<Ф-Хе

-Нт-о

где Ф- текущая фьючерсная цеиа исходных активов.

14.5.Найти стоимости трехмесячных фьючерсных опционов всех видов для следующих данных: Ф = Х= 100 долл., О=30%, ?= 15%.

14.6.Стоимосги европейских спот-опциона «колл» и фьючерсного опциона «колл» на одни н те же активы с цеиой нсполнення X и датой истечения Т равны с и соответственно. Дата исполнения фьючерсного контракта Г*» где 7* >Т.

Доказать, что

а)с = с*, если f = Т;

б)с* > с, если f > Т, r>q;

в)с* < с, если 7* > Г, г <q .

14.7.Стоимости европейских спот-опциона «пут» и фьючерсного опциона «пут» на одни и те же активы с ценой исполнения X и датой истечения Т равны рпр соответственно. Дата исполнения фьючерсного контракта Т*, где "f >Т.

Доказать, что

а)/> = р*. еслн 7 - Т\

6)р <р, если f > Т, r>q;

ь)р>р, если f > Г, 7<q.

4.15. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ

ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ,

ПРОИЗВОДНЫХ от АКЦИЙ

С ИЗВЕСТНЫМИ ДИВИДЕНДАМИ

Рассматривается финансовый ннструмеит, производный от акции, по которой в будущий момент т(0 < т< 7) обещают выплатить дивиденды в размеревеличина, на которую снижается цена исходной акции после выплаты дивидендов).

Для оценки стоимости производного финансового инструмента можно использовать модифицированную л-этапную биномиальную модель

5=5"

5;WA„ =Wup«M;(u))-I>.

где/+(/-1)А<тГ+й„, k„ =

2. - • > jM« - независимые, одинаково распределенные случайные величины, причем

и„=е " "

с вероятностью я„, с вероятностью \-Jt„

{о - годоваяБолатильностьстоимостиакцнн).

Пусть Щ(У\ где Jt = О, 1, 2, и. - стоимость производного финансового инструмента в момент t + /сАд при условии, что цена исходной акции в этот момент равна Y.



Если производный финансовый инструмент является инструментом «европейскогс» типа» с платежной функцией Дг), то

П,(У) = 5(К);

тдс г - безрисковая процентная ставка; ?t» =-

u.-d.

- вероятность подъема цены исходной акцни в мире, нейтральном к риску.

Кроме того, стоимость финансового инструмента «европейского типа» можно оценивать, если считать инвестиционную среду нейтральной к риску, т.е.

0 + г)

T-t

где FiS) --ожидаемая конечная стоимость производного инструмент та в мире, нейтральном к риску.

Модифицированную биномиальную модель можно исполхг зовать для оценки стоимостей американских опционов иа акин* с известными дивидендами.

Стоимость европейских опционов на акцню с известными дивидендами можно определять по приближенным формулам

c-5>(rf,)-""*JV(rf2); p=Xe--N{d2)-SN{r-dy),

где S~I,f ~ привеаенная стоимосгь дивидендов, выплачиваемых по акции за время от / до 7;

15.1.Определить стонмости опционов всех видов на акцию, по которой дивиденды в размере 2 долл. ожидаются через 2 мес., если ЛГ = 60 долл., 5 = 60 долл., Г - / = 4 мес, г = 10% и (Т = 60% (использовать четырехэтапную биномиальную модель).

15.2.Оценить стоимость четырехмесячного американского опциона «колл» иа акцию, по которой через 1,5 мес. должны выплачиваться дивиденды в размере 2,5 долл., если Л* =29 долл., S = 30 долл, г = 5% ПС- 25% (использовать восьмпэтапную биномиальную модель).

15.3.Определить стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» и «пут» на акцию, по которой через 2 и 5 мес. должны выплачиваться дивиденды в размере 1 долл. (каждый раз), если = 40 долл., 5 = 40 долл., 7 = 9% и <т = 30%.

15.4.Построить модифицированную биномиальную модель эволюции стонмости акции, по которой в моменты Т] и т, где 1\ < хл вьпшачиваются дивиденды соответственно в размерах Dy и

Найти сечения модифицированной биномиальной модели.

15.5.Определить стоимости шестимесячных европейских опционов на акцню, по которой через 2 и 5 мес. должны выплачиваться дивиденды в размере 4 долл, (каждый раз), если А" = 100 долл., S = 100 доля,, г = 10% и <т = 40%. При этом:

а)использовать шестиэтапную биномиальную модель;

б)использовать формулы Блэка-Шоулса.

15.6.На основе шестнэтапной биномиальной модели определить стоимости опционов прн условиях задачи 15.5, считая их американскими.

4Л6. ПРОСТЕЙШИЕ СХЕМЫ ХЕДЖИРОВАНИЯ ОПЦИОННЫХ ПОЗИЦИЙ

Если финансовый институт продает на внебиржевом рынке тот или нион опцион, то он подвергается рьшочному рнску.

Финансовый институт может полностью исключить рыночный риск, купив биржевой опцион, аналогичный проданному. Однако такая стратегия не всегда осуществима.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]