назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]


34

В модели Блэка-Шоулса стоимости европейских опционов «колл» и «пут» с ценой исполнения X, дата истечения которых находятся по формулам

1п% + (Г-0 r-q+y

- - -,2/Л

aT-t

2 .л

ПЛ. Цена исходных активов иа временном промежутке [0,5; 2,0] определяется п-этапной биномиальной моделью с параметрами

Найти:

а)В{п,к„,7г„), В{п,к„,л„) прип = 4,6,8;

б)УтВ(п,к„,л„) и ]гтВ(/1,к„,л„),

если S = 100 долл., X = 102 долл., а = 30%, г = 10%, q = 8%.

11.2.Определить стоимости четырехмесячных европейских опционов «колл» и «пут» на акцию с постоянной непрерывной дивидендной доходностью q = 4%в прн цене исполнения Д = 350 долл., если S = 348 долл., г = 7% и о- = 30%.

11.3.Определить текущие стоимости европейских опционов «колл» и «пут» на безливидеидную акцию, цена исполнения кото-рых Л = 50 долл., если 5 = 52 долл.. Г-1 = 3 мес., f = 12% и а = 30%.

11.4.Определить стоимости пятимесячных европейских опционов «колл» и «пут» на 500 английских фунтов стерлингов при цене исполнения 1,60 долл., если 5 = 1,60 долл., f =8%), fj - 11% (в Великобритании), а - 14%.

11.5.Даны девятимесячные европейские опционы «колл» и «пут» на 1000 канадских долларов при цене исполнения 0,75 долл., когда 5 = 0,75 долл., г = 7%, ?у = 9% (в Канаде), а = 4%.

Определить стоимости опционов в условиях четырехэтапной биномиальной модели и по формулам Блзка-Шоулса.

4.12. СВОЙСТВА СТОИМОСТЕЙ ЕВРЮПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ В МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛСА

В модели Блэка-Шоулса стоимости европейских опционов зависят от следующих факторов:

•цены исходных активов S в текуший момент t;

•дивидендной доходности исходных активов q;

•годовой волатильности исходных активов сг,

•безрисковой процентной ставки г и определяются параметрами опционов:

•ценой исполнения Х\

•временем, остающимся до даты истечения опционов, T-t. Частные производные стоимостей европейских опционов по

основным факторам имеют следующий вид:

= e--N{d,), = -e---Ni-di);

-. = е -"- Pfia,}, ,

= -(Т-t)SeN(d), = (r-r)-<-JV(-./,); dqдд

= = S(NXd,)e--\



ds 3s W?

где d,

2 /\

, d2=dy-<TT-t,

1 £1

Частные производные стоимостей епейскнх опционов параметрам опционов имеют вид

=e-~-N(d2); = e--N(-d,);

-qSe-"N{dy) + rXe-*N(d2);

12.1. Дай трехмесячный европейский опцион «колл» на бездивидендную акцию, годовая волатильность которой равна 20%. Найти значения частых производных

если текущая стоимость исходной акции равна 100 долл., а безрнсковая процентная ставка при непрерывном начислении - 8%. Цеиа исполнения опциона равна 100 долл.

12,2. Дан шестимесячный европейский опцион «пут» на акцию, непрерывная дивидендная доходность которой равна 6%, а годовая волапщьность составляет 40%. Найти значения частых производных

Э5 dS

если текущая стоимость исходной акции равна 50 долл., а безрисковая процентная ставка прн непрерывном начислении - 10%.

Цена исполнения опциона равна 50 долл.

12.3.Дай европейский опцион «колл» на акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 12%, годовая волатильность которой составляет 20%.

Текущая стоимость акции равна 50 долл., цена исполнения опциона - 45 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 8%.

Определить стоимость опциона, если до даты его истечения остается 1, 2, 4, 6 и 12 мес

12.4.Дан шестимесячный европейский опцион «пут» на безди-видетщную акцию, годовая волатильность которой равна 35%». Цена исполнения опциона Л= 120 долл., текущая цена акции 5=118 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 6%.

Найти значение частной производной -. Оценить приращение стоимости опциона, если цена его исполнения изменится на: а) ±1 долл.; б) ±2 долл.; в) ±5 долл.

12.5.Внутренняя стоимость опциона «колл» (европейского или американского) в текущий момент определяется в виде

тах{5-Х0),

где S - текущая спот-цеиа исходных активов; X - цена исполнения опциона.



1.Показать, что внутренняя стонмость опциона «колл» на бездивидендную акцию не превосходит стоимости этого опциона.

2.Доказать, что временная стоимость ТУ" = с- max {5- Л, 0} европейского опциона «колл» достигает наибольшего значения при спот-цене исходных активов, равной цене нсполнення опциона.

12.6. Временная стоимость европейского опциона «пут» определяется следующим образом:

ТУ =p-Tn?t\{X:-S,0],

где р - текушая стоимость опциона;

5* - текушая спот-цена исходных активов; X - цена исполнения опциона.

1.Показать, что временная стоимость европейского опциона «пут» на безднвидендную акцию может быть отрицательной.

2.Доказать, что временная стонмость европейского опциона йпут» достигает наибольшего значения при спот-цене исходных активов, равной цене исполнения опциона.

4ЛЗ. НЕЯВНАЯ (ПРВДПОЛАГАЕМАЯ)

ВОЛАТИЛЬНОСТЬ ИСХОДНЫХ АКТИВОВ

Стоимости европейских опционов «колл» и «пут», определенные по модели Блэка-Шоулса, представляет собой теоретические стоимости этих опционов.

Значение волапшьностн исходных активов, прн котором теоретическая цеиа европейского опциона совпадает с его рыночной ценой, называется неявной «одшпильностью исходных активов.

Если рыночная стоимость европейского опциона «колл» удовлетворяет условию

max{s£"-->-Af-<-\ o}<tP"V 5-?-\

то существует, и притом едннствениое, значение неявной волатильности.

Для отыскания неявной волатильности исходных активов необходимо решить уравнение

где =

In + Cr-f)

Nii} =

oT-t

, di d,-(TT-t,

Замечание. Аналогичным образом можно найти неявную волатильность по рыночной стоимости европейского опциона «пут».

13.1.Рыночная стонмость 12-месячного опциона «колл» на акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 6% при цеие исполнения X = 50 долл. равна 4 долл.

Определить неявную волатильность исходной акции, если текущая цена акции равна 50 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении - 8%.

13.2.Рыночная стоимость пятимесячного опциона «пут» иа бездивидендную акцию при цене исполнения 1220 долл. равна 92,60 долл.

Определить неявную волатильность исходной акции, если текущая цена акции равна 1200 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислеинн - 9%.

13.3.Рыночная стоимость шестимесячного европейского опциона «пут» на акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 4% при цене исполнения 16 долл, равна К5 долл. Текушая цеиа акхщи - 15 долл., а безрисковая процентная ставка f = 6%.

Определить;

а)неявную волатильность исходной акции;

б)стоимости четырехмесячных европейских опционов на данную акцию с ценой исполнения = 15 долл., когда текущая цена акции - 16 долл., а безрисковая процентная ставка 7 = ТА.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [ 34 ] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]