Процесс случайиаго блуж&аяия

={ff(ttj)(Д - некоторое положительное число)

определяется следующим образом:

S,если 0£г<Д,

...(S-некоторое число),

S+ 2}{Щ если гД, к=\

где р(й>\ р-2{<о), ... ,р{а>Х... - последовательностьнезавнсимык.

одинаково распределенных cojf-чайных величии, причем

с вероятностью X. с вероятностью

Случайный процесс 4 = (г(«))те((, 71 является процессам с независимыми приращениями, если для любых моментов т,, , г„, где; < Tj < < ... < т„ < Г. случайные величины

независимы. Функция

Г,Т2.....г„(*1--2....."«)-

называется пмериой функтей распредедеиыя случайного процесса

= (lt (u>))ie((, 71-

Математическое ожидание (соответственно дисперсия) случайного процесса {£,{Ф))щ ц в момент т определяется как математическое ожидание (дисперсия) сечения этого процесса в момент г.

Винеровский случайный процесс - это случайный процесс W = (w (u>))ie(o. +«>» удовлетворяющий следующим условиям:

•приращения случайного процесса w независимы;

•при О < т < 5 приращение - распределено нормально с параметрами (О, s - т);

•все траектории случайного процесса w непрерывны иа промежутке [О, +

9.1.Дан случайный процесс = ( (й>))гец>,»)

гдег ../

с / V / ч . . . С вероятностью X,

Построить все траектории случайного процесса . Каковы сечения случайного процесса?

9.2.Дан случайный процесс = (т (й)))() „),

1, если 0£r<77(w), [-1, если г >Fj(to), rf(co) - неотрицательная случайная величина.

Каковы траектории случайного процесса? 9.3. Дай случайный процесс = (г (w))reio, «>>

если 0<rni<w).

пМ-Тт еслн7;,И<т5г1,(а». 1еслиг > 7Т2 С)

A](iv) и А2(и) - случайные величины, причем О < h{w) < hiw).

Каковы траектории случайного процесса?

9.4. Дан винеровский случайный процесс w = (w (й>))«(р.

Найти вероятности

9.5.Дан процесс случайного блуждания = {1т{Ф) Найти M(i?f (й>)) и Z>(nf (й>)).

9.6.На одном рисунке изобразить траектории случайных блужданий:

где tia(w)7}p(a>) = ni(co) = 0.

Найтн Л/(г(а»)и D{rj{a>)l Д = 1, / и j.

9.7. Дан винеровский случайный процесс w = (»Vj(u>))[o „у Доказать, что соу(>Гр ш) = min(T, s).

4Л0. ПРОЦЕСС ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Случайный процесс = (5т())1е[(.«) называется яtf-цессом геометрического броуновского движения., если

1п5т(а>) = 1п5+

.2 Л

(T-/)+CT(Wr(u>)-lV,(Oj)),

где S, а и <т - некоторые числа, причем 5>0иа>0(д- показатель смещения случайной величины а сг - годовая волатильность зтой случайной величины);

» = (»f(fi>)):e[o,™) - винеровский случайный процесс.

Сечение Sim) геометрического броуновского движения в любой момент т, те [(, »). распределено логнормально с параметрами:

g--г

(т-0, ст(т-г)

причем ЩВ (о))] = Se-\ D [5,(uj)] = Se"

При достаточно большом п процесс геометрического броуновского движения = (Sr(u>))ief, можно аппроксимировать м-этапиой биномиальной моделью с параметрами

где п„

Если стоимость некоторого финансового актива определяется процессом геометрического броуновского движения, то годовую волатильность стоимости финансового актива можно оценить на основе исторической информации о ценах этого актива.

Предполагая, что известны цены финансового актива;

-Sift) ►i, Sj,Sff

соответственио в моменты т, Xq + Дг, т), + 2Дт, Tq, + тДт, положим

Si mm

Тогда

i/дт

10.1.Цеиа активов определяется геометрическим броуновским движением с показателем смешения а = 0.01 н годовой волатиль-ностью <т = 20%. Текущая цена активов равна 10 долл.

Определить:

а)ожидаемые значения цены активов через 0,5; 1,0 и 1,5 года;

б)вероятности f {9,8 < 5,+, о < 10,2) и Р{10,1 й Sj+, 5 < 10,3}.

10.2.Цена активов определяется геометрическим броуновским движением с показателем смещения а == 0,1 и годовой волатильно-стью <у = 20%. Текущая цена активов равна 50 долл.

Определить:

а)ожидаемые значения цены активов через 0,4; 0,8 и 1,2 года;

б)вероятности /{50.5 < S+q., й 52} и Р{А9 < 5,+о.8 51}.

10.3.Оценить годовую волатильность активов, если известны цены (5,) этих активов за 11 последовательных рабочих дней биржи.

10Д Оценить годовую волатильность активов, если известны цены (5,) этих активов за 15 последовательных рабочих дней биржи.

10.5.Определить стоимости трехмесячных опционов всех видов на акцию с постоянной дивидендной доходностью q - 8%, цена исполнения которых составляет 51 долл.. если текущая спот-цена акции равна 52 долл.> а волатильность стонмости акцни -30%. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется во времени н равна 12%i. Использовать биномиальную модель с числом этапов:

а)я = 3; б) и = 5.

10.6.Определить стоимости опционов при условиях задачи 10.5, если волатильность стоимости исходной акции равна 50%.

4.11. МОДЕЛЬ БЛЭКА-иЮУЛСА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ

Рассматриваются европейские опционы «колл» и «пут» на активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью q.

Предположим, что выполняются следующие условия:

•рынки европейских опционов на данные активы и спот-ры-нок исходных активов являются совершенными;

•можно неограниченно кредитовать и брать ссуды под безрисковую процентную ставку г при непрерывном начислеини, которая одинакова для всех сроков и ие меняется в течение времени;

•стоимость исходных активов определяется геометрическим броуновским движением движения =где

ln{S,(tt))}=in5 +

(т - О+о{к> (й>) - w,{<o)}.

• на рынках отсутствуют прибьшьные арбитражные возможности,