назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]


32

6.5.Инвестор приобрел 10 бездивидендиьк акций, цена которых через 6 мес. может подняться до 96 долл. или снизиться до 92 долл.

Сколько шестимесячных европейских опционов «колл» на данную акцию с ценой исполнения 94 долл. следует купить нлн продать, чтобы хеджировать исходную позицию?

6.6,Инвестор приобрел 20 четырехмесячных европейских опционов «пут» на акцию с постоянной дивидендной доходностью 3%. Цена исполнения опционов равна 80 долл.

Сколько акций необходимо купить или продать, чтобы хеджировать исходную позицию, если через 4 мес. цена акции может подняться до 84 долл. нлн снизиться до 78 долл.?

4Л. ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ «ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА» В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

В текуший момент ; рассматривается финансовый инструмент «европейского типа», производный от исходных активов с дивидендной доходностью q, стоимость которого в момент Т равна значению платежной функции HSj).

Если спот-цена исходных активов на временном промежутке [г, Т\ определяется л-этапиой биномиальной моделью, то

5, = S;

i+kh ~ (Hfc-m ~-* к -\,2,и,

где £i, .....- независимые, одинаково распределенные случайные величины, причем

с вероятностью я, с вероятностью 1-я.

Если рынки являются совершенными, безрнсковая процентная ставка одинакова для всех сроков, ие меняется в течение времени н равна г, то при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей имеют место следующие утверждения,

1. Пусть П,(0 - стоимость производного финансового инструмента в момент t + kh прн условии, что цена исходных активов до этого момента поднималась / раз, А = О, 1, 2,п, i = 0. 1, 2,к.

Тогда

n„ii) = F{Sud\ ( = 0,1,2,..., и; 1

(1 + гУ

{л П1((+1) + а-Я )n;t,(i)},

где л =

2. В условиях биномиальной модели стоимость финансового инструмента «европейского типа», производного от активов с постоянной дивидендной доходностью, можно оценивать, считая инвестиционную среду нейтральной к риску.

Иными словами, текушая стоимость производного инструмента определяется равенством

(1 + 0

и

meF(Sj)=Cl(jz*y(l-Jr*)"~F(Sud") - ожидаемая стонмость

производного финансового инструмента на момент Т в мире, нейтральном к риску;

3. Теорема Кокса-Росса-Рубииштейна. Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q в



условиях «этапной биномиальной модели имеют место следующие формулы:

(1 + г)

(1 + ?)

1 + г

, h =-, k =

\tiu-\ad

+ 1>

где B(n, k,n) и B{n,k, n) - вероятность того, что в n независимых

испытаниях число успехов окажется больше или равно к, если вероятность успеха

в одном испытании равна я и ж.

7.1- Даны трехмесячные европейские опционы «колл» и «пут» на бездивндендиую акцню при цене исполнения 80 долл., когда текущая цена акцнн равна 80 долл,, а безрисковая процентная ставка для всех сроков составляет 6%.

Определить стоимости опционов в условиях биномиальной модели с параметрами н = 1,02 \id = 0,95, если:

а)биномиальная модель двухэтапная;

б)биномиальная модель трехэтапиая.

Использовать рекуррентные соотношения для стоимостей опционов.

7,2. Даны четырехмесячные европейские опционы «колл» и «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью 3% при цеие нсполнення 196 долл., когда текущая цена акции равна 200 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков составляет 10%.

Определить стоимости опционов иа основе рекуррентных соотношений, если цена исходной акции определяется четырехэтап-ной биномиальной моделью с параметрами и - 1,07 и rf = 0,93.

7.3.Определить стоимости европейских опционов при условиях задачи 7.2, если дисконтировать ожидаемую стоимость опционов на дату их истечения,

7.4.Даны четырехмесячные европейские опционы «колл» н «пут» на 1000 английских фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,6 долл., когда текущий обменный курс -1,61 долл. за один фунт, а безрисковые процентные ставки для всех сроков в США и в Великобритании равны 8 и 6%> соответственно.

Найти стоимости опционов, если обменный курс определяется шестнэтапной биномиальной моделью с параметрами н = 1,02 Hrf = 0,98.

7.5.Определить стонмости европейских опционов при условиях задачи 7.4 с помощью формул Кокса-Росса-Рубинштейна,

7.6.Дан шестимесячный финансовый инструмент «европейского типа», производный от акции с постоянной дивидендной доходностью 2% . Платежная функция финансового ннсгрумента

имеет вид F{z) = --.

z+10

Найти стоимосгь финансового инструмента, если текущая цена акции 20 долл., безрисковая процентная ставка для всех сроков равна 6%, а цеиа акции определяется четырехэтапной биномиальной моделью с параметрами н = 1,08 н rf = 0,94.

4.8. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ АМЕРИКАНСКИХ ОПЦИОНОВ В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

Рассматриваются американские опционы «колл» и «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью , цена исполнения которых X, а дата истечения Т,

Предполагается, что рынки удовлетворяют стандартным условиям, а стоимость исходных активов определяется и-этапной биномиальной моделью с параметрами и rf.



Если Cfcii) и Р]) - стоимости американских опционов «колл»

н «пут» в момент t + kk

прн условии, что до этого

момента американские опционы не исполнялись, а цеиа исходных активов поднималась \ раз, то имеют место следующие равенства:

C„(i) = max(Hrf-A",0},

Р„{!) = maK{X-St/d, 0}, / = О, I, 2,и,

P,(r) = maxJA--5«rf*-4-J- А: = 0. U 2,I; ( = 0, 1,2, ,..,А:,

S - стоимость исходных активов в текущий момент г - безрнсковая процентная ставка, не меняющаяся во времени;

вероятность подьема цены на одном этапе в мире, нейтральном к риску.

8.1.Даны щсстимесячиые американские опционы «колл» и «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью q = 6% при цене нсполиения 200 долл. Текущая цена исходных активов -190 долл., а безрнсковая процентная ставка - 12%.

Определить стоимости американских опционов в условиях двухэтапной биномиальной модели с параметрами и = 1,12 и (/=0,97.

8.2.Определить стоимости четырехмесячных опционов всех видов иа бездивидендную акцию при цене исполнения 60 долл., если цена исходной акции определяется четырехэтапной бнно-

миальной моделью с параметрами; и = 1,3 н = 0,75, а безрисковая процентная ставка составляет 10% и не меняется во времени. Текущая цена акции равна 60 долл,

8.3.Определить стоимости восьмимесячных опционов всех видов на акцию с постоянной дивидендной доходностью 12% прн цене исполнения 100 долл., если цена исходной акции определяется четырехэтапной биномиальной моделью с параметрами: и = 1,22 и uf = 0,82, текущая цена акции 98 долл., а безрисковая процентная ставка равна 8% и не меняется во времени.

8.4.Найти стоимости восьмимесячных опционов всех видов на 1000 канадских долларов при цене исполнения 0,75 долл., если обменный курс определяется четырехэтапной биномиальной моделью с параметрами и = 1,02 н d = 0,98, текущий обменный курс - 0,75 долл., а безрнсковые процентные ставки в США и Канаде равны 7 и 9% соответственио.

4,9. ПОНЯТИЕ О СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССАХ. ВИНЕРОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Случайной величиной является функция -й)), определенная на некотором пространстве элементарных событий О, й) € Л, такая, что для каждого числа д: е Л задана вероятность события {(<») < х).

На временном промежутке [г, 7] задан случайный процесс

если каждому моменту Т€ Т\ поставлена в соответствие случайная величина со).

Случайная величина (й)), соответствующая моменту времени т € Т\, называют сечением случайпого процесса в момент т.

Траекторией (или реализацией) случайного процесса является функция 40)) при фиксированном элементарном событии О) е а.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [ 32 ] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]