4.1.Стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» с ценами исполнения 10 и 12 долл. равны 1,0 и 0,8 долл. соответственно.

Построить спреды «быков» н «медведей» из данных опционов. Какова зависимость прибыли от спот-цены активов иа дату истечения опционов, если безрисковая процентная ставка на 6 мес. при непрерывном начислении составляет 10%?

4.2.Стоимости пятимесячных европейских опционов «колл» с ценами исполнения 15, 17,5 и 20 долл. равны 4, 2 и 0,5 долл. соответствеиио.

Построить спред «бабочка» из данных опционов. Какова зависимость прибыли от спот-цены активов на дату истечения опционов, если безрисковая процентная ставка на 5 мес. при непрерывном начислении составляет 8%?

4.3.Инвестиционный портфель включает спреды «быков» и «медведей», составленные из европейских опционов «пут».

Какова прибыль от инвестиционного портфеля иа дату истечения опционов?

44. Стоимость шестимесячного европейского опциона «пут» с ценой исполнения 50 долл. равна 3 долл., стоимость семимесячного европейского опциона «пут» с ценой исполнения 50 долл. -5 долл. Календарный спред составлен из короткой позиции в шестимесячном опционе и длинной позиции в семимесячном опционе.

Какова прибыль от календарного спреда через 6 мес, если безрисковая процентная ставка на этот период при непрерывном начислении составляет 8%?

4.5. Стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» и «пут» с ценой исполнения 50 долл. равны 6 н 4 долл. соответственно. Безрисковая процентная ставка иа 6 мес. при непрерывном начислении составляет 6%.

Определить:

а)прибыль на дату истечения опционов от стредла, составленного из длинных позиций;

б)значения спот-цены исходных активов, при которых прибьшь от стредла равна 0.

4.6.Стоимости восьмимесячных европейских опхшоиов «колл» и «пут» с ценами исполнения 50 и 52 долл. равны 2 и 3 долл. соответственно.

Какова прибьшь от стренгла, составлеииого из длинных позиций, если безрисковая процентная ставка иа 8 мес. при непрерывном начислении составляет 6%?

При каких значениях спот-цены исходных активов инвестор будет нести убытки?

4.7,Стоимости пятимесячных европейских опционов «колл» с ценами исполнения 20, 30, 40 и 50 долл. равны 5, 3, 2 и 1 долл. соответствеиио. Безрисковая процентная ставка на 5 мес. при непрерывном начислении равна 6%. Спред «кондор» состоит из покупки опционов с ценами исполнения 20 и 50 долл, и продажи опционов с ценами исполнения 30 и 40 долл.

Определить:

а)прибыль от спреда иа дату истечения опционов;

б)диапазон изменения спот-цены активов, чтобы прибьшь от спреда «кондор» бьша положительной.

4.5. АРБИ17АЖНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕН АМЕРИКАНСКИХ ОПЦИОНОВ

Прн стандартных предположениях о рынках имеют место следующие утверждения.

1.Стоимость того или иного американского опциона не может быть меньше стоимости аналогичного европейского опциона.

2.Американский опцион «колл» иа активы, не приносящие доходов, не оптимально исполнять досрочно, т. е. до даты его истечения. В этом случае стоимость американского опциона «колл» совпадает со стоимостью аналогичного европейского опциона.

3.Дан американский опцион «колл» с датой истечения Т на акцию, по которой в моменты--Ли где t = t<ty< < .., < < = 7", должны вьшлачнваться дивиденды в размерах />1, Dr ... D„ соответственно.

Такой опцион не оптимально исполнять в любой момент т, где/< г < г,+, (/= 0, 1,2, и).

Если же Di £ Х( 1-е"+"),где - безрисковая процентная ставка на период [t,, ij+i] прн непрерывном начислении, то американский опцион «колл» не оптимально исполнять в момент с, (/=1.2.....W).

4. Еслн Си Р - стоимости американских опционов «колл» и «пут» иа одии и те же активы с ценой исполнения X, дата истечения которых Т, а безрнсковая процентная ставка одинакова для всех сроков, то

S-D-X<C-P<S~Xe-\

где S - спот-цена исходных активов в текущий момент/;

D - приведенная стоимость доходов, поступающих от исходных активов за период [f, 71.

5Л. Дан 12-месячный американский опцион «колл» на акцию, по которой через 3 и 8 мес. ожидаются дивиденды в размерах 3 и 2 долл. соответственно. Цена исполнения опциона равна 200 долл.

Доказать, что опцион не оптимально исполнять досрочно, еслн безрисковая процентная ставка при непрерывном иачнслении одинакова для всех сроков, не меняется в течение времени и равна 8%.

5.2.Дан восьмимесячный американский опцион «колл» на акцию, ло которой через 2 и 6 мес. ожидаются дивиденды одного и того же размера. Цена исполнения опциона равна 150 долл.

Определить величину выплачиваемых дивидендов, при которой досрочное исполнение опциона было бы ие оптимально, если безрнсковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется в течение времени и равна 6% при непрерывном начислеинн.

5.3.Дан шестимесячный американский опцион «колл» на без-днвидендную акцию, цеиа исполнения которого равна 90 долл. Текушая стоимость исходной акции равна 92 долл.

Определить нижнюю границу для стоимости опциона, если безрнсковая процентная ставка на 6 мес. при непрерывном начислении составляет 7%.

5.4.Дан 11-месячный американский опцион «колл» на акцию, по которой через 2 и 5 мес. ожидаются дивиденды в размерах 1,5 и 3 долл. соответственно. Цена нсполиения опциона равна 120 долл.

Определить нижнюю границу для стоимости американского опциона, если безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется в течение времени и равна 6% при непрерывном иачнслении, а текущая стоимость исходной акции равна 121 долл.

5.5.Стоимость восьмимесячного американского опциона «пут» иа акцию, по которой через 2 и 6 мес. ожидаются дивиденды по 1 долл. каждый раз, равна 2 долл. Цеиа исполнения опциона составляет 50 долл.

Определить верхнюю и нижнюю границы для стоимости аналогичного американского опциона «колл», если текущая спот-цена акции - 52 долл., а безрнсковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 8%.

5.6.Стоимость шестимесячного американского опциона «колл» на акцию, по которой через 2 и 5 мес. ожидаются дивиденды по 0,5 долл. каждый раз, равна 2 долл. Цена исполнения опциона - 30 долл.

Определить верхнюю и нижнюю границы для стоимости аналогичного американского опциона «пут», если текушая цена акции равна 29 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении составляет 9%.

5.7.Пусть СиР- цены американских опционов «колл» и «пут» иа одни и те же активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью q. Доказать, что

Se-->~X<C~P<S-Xe--\

где X - цена исполнения опционов;

S - спот-цена активов в текущий момент/; Т - дата истечения опционов;

г - безрнсковая процентная ставка прн непрерывном начислении.

4.6. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРЕНТОВ «ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА»

Финансовый инструмент, производный от некоторых исходных активов, называется производным финансовым инстру-ментом «европейского типа», если существует функция F{z) такая, что в заданный момент Т стоимость производного инструмента равна F(Sj), где Sj - стоимость исходных активов в момент Т. (Функция F{z) называется платежной функцией производного финансового инструмента.)

В простейшей модели эволюции цены исходных активов предполагается, что цена исходных активов в текущий момент t известна и равна 5, а к моменту Т может подняться до величины Su (м > 1) с вероятностью п или опуститься до величины Si/ (О < < i) с вероятностью 1 - л:

Если иа рынке исходных активов отсутствуют арбитражные возможности, то

d <

< и.

где г - безрисковая процентная ставка на Г-г лет;

q - постоянная дивидендная доходность исходных активов.

В условиях простейшей модели эволюции цеиы исходных активов текущая стоимость П производного финансового инструмента «европейского типа» оценивается следующим образом:

{1 + г)

{ж Р{8и)НУ-л )F{Sd)\,

где л -194

Если вероятность подъема цены в простейшей модели эволюции цены исходных активов равна ж, то ожидаемая доходность инвестиции в исходные активы совпадает с безрнсковой процентной ставкой. Иными словами, к является вероятностью подъема цены исходных активов в мире, «нейтральном к риску».

6.1.Цена акции, не приносящей дивидендов, равна 33 долл. Через 3 мес цена акции может подняться до 38 долл. или снизиться до 32 долл.

Определить стоимости трехмесячных европейских опционов «колл» и «пут» на данную акцию с цеиой исполнения 35 долл., если безрисковая процентная ставка на 3 мес. составляет 8%.

6.2.Цеиа акции с постоянной дивидендной доходностью 3% равна 50 долл. Через полгода цена акции может подняться до 54 долл. или снизиться до 48 долл. Определить стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» и «пут» на данную акцию с ценой исполнения 50 долл., если безрисковая процентная ставка на 6 мес. составляет 8%.

6.3.Текущая цена английского фунта стерлингов в США равна 1,8 долл. Через 4 мес, цена одного фуита может подняться до 1,82 долл. или снизиться до 1,75 долл.

Определить стоимосгь четырехмесячного европейского опциона «пут» на 1000 фунтов стерлингов при цене исполнения 1,81 долл., если безрисковые процентные ставки иа 4 мес. в США н Великобритании составляет 6 и 4% соответственно.

6.4.Текущая цена акции с постоянной дивидендной доходностью 5% равна 20 долл. Через полгода цена акции может подняться до 23 допл. или снизиться до 15 долл.

Оценить стоимость шестимесячного финансового инструмента «европейского типа», производного от данной акции, если безрисковая процентная ставка на 6 мес. составляет 8%, а платежная функция производного инструмента имеет вид

a)F(z) = max(2z-35,0}; Щ F{z) =

Z + 10