щие фьючерсные цены которых 210, 220 и 240 руб., а ожидаемые доходности фьючерсных позиций 10, 12 и 10% соответственио. Ковариационная матрица между доходностями имеет вид

Определить:

а)ожидаемые доходности хеджируемых позиций и ковариационную матрицу этих доходностей;

б)стратегию хеджирования прн минимизации дисперсии совокупной доходиости;

в)стратегию хеджирования, минимизирующую дисперсию совокупной доходности, при заданном уровне ожидаемой доходности 7%о;

г)стратегию хеджирования, минимизирующую дисперсию совокупной доходности, при заданном уровне ожидаемой доходности, равном 9%, если можно использовать безрисковый актив с доходностью 5%1.

9.5. Инвестор занимает короткую позицию по активам, текушая цена которых составляет 200 руб., а ожидаемая недельная доходность - 10%. Для хеджирования этой позиции инвестор предполагает использовать фьючерсные контракты иа два вида активов, текущие фьючерсные цены которых 220 и 240 руб., а ожидаемые доходности фьючерсных позиций 6 и 7% соответственно-Ковариационная матрица между доходностями имеет вид

0,1 О

О 0.2 0,3 -0,1 -0,1 04

Определить:

а)ожидаемые доходиости хеджируемых позиций и ковариационную матрицу этих доходностей:

б)стратегию хеджирования при минимизации дисперсии со-вокутшой доходности-

3.10. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ АКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ НА ИНДЕКС АКЦИЙ

По условиям фьючерсного контракта иа рыночный индекс акций сторона, занявшая в момент короткую или длинную позицию, получит в момент исполнения котпракта Г денежную сумму в размере

/,{Ф,{Г)-У(Л или {/(Л-Ф,,(ЛЬ

где L - объемконтракта(денежнаясумма,установленнаябиржейдля данного контракта);

Ф, (Г) - фьючерсная цена индекса акций в момент Гд;

ЦТ) - значение (цена) индекса акций в момент исполнения контракта Т.

При отсутствии арбитражных возможностей фьючерсную цену нндекса акций можно оценивать, считая ее форвардной ценой активов с постоянной дивидендной доходностью:

Ф,(Т) = те---\

где I{i) - текущее значение нндекса акций;

г - безрнсковая процентная ставка на Г - г лет при непрерывном начислении;

q - постоянная непрерывная дивидендная доходность индекса акций.

Если инвестор владеет некоторым портфелем акций, то для хеджирования рыночного риска ои может занять короткую позицию в нескольких фьючерсных контрактах на индекс акций.

Чтобы дисперсия доходности хеджируемой позиции была минимальной, число фьючерсных контрактов /V должно удовлетворять соотношению

<rJT)

где P(Iq) - стоимость портфеля акций в момент Гс;

- бета-коэффи"иент портфеля акций относительно рассматри-

ваемого индекса акции

С0У(г,.Гр)

юл. Компания владеет лортфелем акций стоимостью 2,1 млн долл. и собирается его хеджировать с помощью фьючерсных контрактов иа индекс акций SP-500 (L = 250 долл.).

Найти оптимальное количество фьючерсных контрактов для хеджирования, если текущая фьючерсная цеиа индекса равна 300, бета-коэффициеит портфеля акций - 1,5.

Определить доход (убыток) инвестора, если через 1 мес. стоимость портфеля акций упадет до 2 млн долл.. а фьючерсная цена индекса - до 290.

10.2. Фирма собирается хеджировать в течение 1 мес. будущую покупку портфеля акций, исходные данные которого приведены ниже.

АкцияI

Цеиа акции19,25

Еета-коэффншвит акции 1,45 Количество акций в портфеле4000

Определить оптимальное количество фьючерсных контрактов на индекс акций (L = 500 долл.), если текущая фьючерсная цеиа индекса акций равна 320,

Оценить чистый доход инвестора, если через 1 мес. цены акций окажутся равными 20,50; 30,20; 25,10; 42,00; 37,75; 28,50 соответствеиио, а фьючерсное значение индекса возрастет до 321.

10.3. Инвестор владеет портфелем акций, данные которого приведены в ниже,

Акция

Количество акций Цеиа акции

Бета-коэффнциент акции 162

Определить оптимальное количество фьючерсных контрактов на индекс акций (Z. = 800 долл.) для хеджирования исходной позиции, если текущая фьючерсная цена индекса акций равна 220,

Оценить чистый доход иивестора, если через 2 мес. цены акций окажутся равными 90; 110; 1СЮ; ПО; 105 соответственно, а фьючерсная цена индекса возрастет до 222.

10.4.Инвестор владеет портфелем акций, текущая стоимость которого составляет 2 ООО ООО долл. Для хеджирования портфеля в течение 3 мес. инвестор решает использовать четырехмесячные фьючерсные контракты на рыночный индекс акций (L = 250 долл,). Текущее значение индекса акций равно 900, непрерывная дивидендная доходность индекса акций - 4%, а бета-коэффицнент портфеля акций относительно данного индекса - 1,4.

Определить;

1)количество фьючерсных контрактов, которое необходимо для хеджирования, если безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 10%;

2)доход от хеджируемой позиции, если значение индекса акций через 3 мес. окажется равным 860.

10.5.Инвестор владеет портфелем акций, текущая стоимость которого составляет 2 млн долл. Для хеджирования портфеля акций в течение 2 мес, инвестор решает использовать четырехмесячные фьючерсные контракты иа рыночный индекс акций (L = 500 долл.). Текущее значение индекса акций равно 1000, непрерывная дивидендная доходность индекса акций - 5%, а бета-коэффнциент портфеля акций относительно данного индекса - 1,5.

Определить:

1)количество фьючерсных контрактов, которое необходимо для хеджирования, если безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 10%;

2)доход от хеджируемой позиции, если значение индекса акций через 3 мес. окажется равным 980.

10.6.Инвестор владеет портфелем акш1Й н занимает короткую позицию в N фьючерсных контрактах на рыночный индекс акций.

Доказать, что бета-коэффициеит всего инвестиционного портфеля относительно данного индекса акций можно считать равным

где - бета-коэффициент портфеля акций; Ф,д(Л - текущая фьючерсная цена индекса акций; PUq) - текущая стонмость портфеля акций.

ЗЛ1. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПРОЦЕНТНОГО РИСКА С ПОМОЩЬЮ ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ

Рассматривается фьючерсный контракт на некоторую облигацию без дефолт-риска, дата исполнения которого Т.

Если сразу же после текущего момента г все безрисковые процентные ставки изменятся на одну и ту же величину Дг, то отно-

сительное изменение фьючерсной цены облигации удовлетворяет равенству

ФДГ)

где Dg - дюрация потока платежей по облигации, поступающих после даты исполнения фьючерсного контракта.

Замечание, Можно считать, что величина - (Т-г) совпадает (приближенно) с дюрацией исходной облигации на дату поставки при непрерывном начислении.

Для хеджирования портфеля облигаций без дефолт-риска стоимостью P{i), дюрация которого прн непрерывном начислении равна Dp, следует заиять короткую позицию в N фьючерсных контрактах на рассматриваемую облигацию, где

Pit)

Ф,iT)bs-{T--t)

В этом случае в течение короткого времени будет обеспечена защита портфеля облигаций от параллельных сдвигов кривой рыночных доходностей.

11.1. Инвестор владеет портфелем облигаций стоимостью I млн долл. Дюрация портфеля облигаций равна 3,2 года. Для хеджирования процентного риска инвестор решает использовать фьючерсные контракты на трехмесячные казначейские векселя номиналом \ млн долл. (в момент поставки до погашения векселя остается 3 мес).

Сколько контрактов необходимо для хеджирования в начальный момент, если текушая фьючерсная цена казначейского векселя равна 900 тыс. долл.?

И.2. Инвестор знает, что через полгода он получит 5 млн долл., которые инвестирует в облигацию без дефолт-риска. В данный момент дюрация этой облигации равна 5,7 года. Для хеджирования процентного риска инвестор использует фьючерсный контракт на другую облигацию, дюрация которой составляет 8,8 года. Безрнсковая процентная ставка на полгода прн непрерывном начислеинн равна 6%,

Сколько фьючерсных контрактов иеобходамо для хеджнрова-Ш1Я, если текущая фьючерсная цена облигации составляет 880 тыс. долл.?

11.3. Инвестор владеет портфелем облнгацнн, стоимость которого 700 тыс долл., а дюрация - 5,4 года (прн непрерывном начислении). Для хеджирования процентного рнска инвестор решает использовать полуторагодичные фьючерсные контракты на облигацию, поток платежей по которой приведен ниже.

Срок платежа, годы Размер платежа, тыс. долл.

Сколько фьючерсных контрактов необходимо для хеджирования, если все безрнсковые процентные ставки одинаковы и равны 10% (прн непрерывном начислении)?