.-=,££%£р)( рД ,-=,,2.....„,
где Q - портфельрискованныхактивов,доходность которого не коррелирует с доходностью портфеля р.
При этом если эффективная граница T{Q определяется условиями
BFp +2С г =--с-
2Агр + в
является ожидаемой доходностью портфеля Q,
Модель оценки финансовых активов при отсутствии безрискового актива определяется равенствами
i~rQ + &i(fM-rQ), = lt2.....п,
гдеМ - рыночный портфель;
Q - портфель,доходностькоторогонекоррелнруетсдо-ходностью рыночного портфеля М;
p. =---бета-коэффициент рискованных активов i-ro вида,
=],2.....п.
Равновесный рынок удовлетворяет данной модели, если он является совершенным, а инвесторы не склонны к риску.
19Л. Эффективная границ Т{) задана уравнением
о = (4,35-0,87г + 0.16965)-. г > 0,1.
Найти ожидаемую доходность портфеля, не коррелирующегС( с эффективным портфелем Л если гр = 0,2.
19.2. Эффективная граница Г(Йз) задана уравнением
Г15 2 7 И -г--г +-
4 8 64
Найти ожидаемую доходность портфеля, не коррелирующего с эффективным портфелем р, если F, = 0.2.
19.3. Разрешены короткие продажи рискованных активов трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0.1 О О О 0,1 О О О 0,2
Найтн портфель с наименьшей дисперсией, не коррелирующий с эффективным портфелем р = (0,2; 0,45; 0,35),
Определить бета-коэффнциенты рискованных активов относительно портфеля P
19.4. Разрешены короткие продажи рискованных активов трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
42 О 0,3 "1 О 0,4 0.1
0,3 0,1 0,5
Найти портфель с наименьшей дисперсией, не коррелирую-
{ 4 ЪЛ
щий с эффективным портфелем р= 0; -; - .
Определить бета-коэффициенты рискованных активов относительно портфеля р.
19.5. Доходности рыночного портфаая и портфеля с наименьшей дисперсией, не коррелирующего с рьшочным портфелем, равны соответственно 12 н 6%.
Найтн равновесные ожидаемые доходности рискованных активов, имеющих бета-коэффнцненты: pj =0,75; Ь; Эз- 1.5,
Определить стратегию ие склонного к риску нивестора для обеспечения ожидаемой доходности в 10%.
19.6. Ожидаемая доходность и дисперсия доходности рыночного портфеля равны соответственно 0,15 и 0,2. Ожидаемая доходность портфеля с наименьшей дисперсией, не коррелирующего с рыночным портфелем, составляет 0,06.
Определить равновесные ожидаемые доходности рискованных активов, если ковариацни между их доходиостями и доходностью рыночного портфеля равны 0,15; 0,25 и 0,12.
120. РЫНОЧНЫЕ ИНДЕКСЫ.
ОЦЕНКА БЕТА-КОЭФФИЦИЕНТОВ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ
Конъюнктуру рынка часто оценивают на основе того или иного рыночного индекса.
Есдн рыночный индекс рассчитывается методом взвешивания по стоимости, то
где /(fj) и /{Гз) - значения индекса соответственно в моментыи fj; V(ti} и V(t - стоимости всех учитываемых индексом активов в эти моменты-
Доходность рьшочного индекса акций за п периодов от г до Г определяется равенством
где i т ~ значения индекса акций в моменты i и Г; Z>i, £>2, D„ - дивиденды, выплачиваемые по рассматриваемым акциям за период от i до Т.
Дивидендной доходностью индекса акций за период от f до Г называется число q такое, что
1 + =
1 +
Если же д- годовая дивидендная доходность при непрерывном начислении, то
е*~* = 1 + , /Д1 + г) = /7е->.
Чтобы оценить бета-коэффициенты рискованных активов относительно выбранного рыночного индекса, можно воспользоваться информацией о доходностях рыночного индекса г/, доходностях рассматриваемых активов rJ, у = 1, 2,..., п и величинах безрисковой процентной ставки г за Т временных периодов.
Если случайные величины =Гу-г, у" = 1, 2,..., « и 2]=г]-г удовлетворяют линейным регрессионным моделям
j=<:tjz\+e), ; = 1.2,...,Г, ; = 1,2.....л,
( т V г
у" = 1,2,..,. я.
(=1 (И
Прогнозные значения бета-коэффициентов рискованных активов можно найти методом экспоненциального взвешивания, положив
где 17/{г-1/) и <7/{r-lr) - прогнозы дисперсии Z, и ковариацни
между г) и Г/, сделанные в периоде t на период (f- 1); А, Л, Xi, Х„ ~ специально подобранные положительные числа;
<:fj[T\T+\)=(zJ)\ <Tjj{T\T+\}zJzJ
Тогда
20.1. В течение 18 мес. по портфелю акций вьшлачивались дивиденды 3 раза. Размеры дивидендов и стоимости портфеля акций в момент выплат дивидендов приведены ниже.
D, тыс. долл. У, тыс, долл.
5 200
6 215
Найтн дивидендную доходность портфеля акции за 18 мес. Какова годовая дивидендная доходность портфеля акций прн непрерывном начислении?
20.2. В течение 6 мес. значение индекса акций изменилось с 400 до 410. Какова доходность индекса за этот период, если годовая дивидендная доходность индекса при непрерывном начислении равна 10%?
203. В течение 10 мес. значеине нндекса акций изменилось с 210 до 215. Какова доходность индекса за этот период, еслн годовая дивидендная доходность индекса при непрерывном начислении равна 8%?
20,4. В течение двух лет по портфелю акций выплачивались дивиденды 4 раза. Размеры дивидендов и стоимости портфеля акций в момент выплат дивидендов приведены ниже.
D, тыс. долл. У, тыс. долл.
0,5 100
0,5 102
0,6 103
0,6 104
Найти дивидендную доходность портфеля акций за 2 года. Какова годовая дивидендная доходность портфеля акций при непрерывном начислении?
20.5. Данные о доходностях рискованных активов трех видов, доходностях рыночного индекса акции и величинах безрисковой процентиой ставки последовательно за 12 мес. приведены ниже.
| г}, % | | Г, % | ri. % | г/. % |
| | 18.3 | 18,0 | 31,2 | 37.7 |
| | 12,0 | | | 21.8 |
| | | -0,1 | | 14,6 |
| | | | | 36,9 |
| | | | | |
| | | | 14.8 | -15,6 |
| | -3.S | -6,0 | | -7,0 |
| | -0,1 | | -1,0 | -9,5 |
| | | | | |
| | 11,2 | | 15.8 | |
| | | | | 14,6 |
| | | | | 11,9 |
1.Оценить коэффициенты линейных регрессий zj =fj-ry , У = 1, 2, 3 по zl-rf -Гу н найтн значения всех показателей, используемых для тестирования моделей.
2.Построить доверительные интервалы для коэффициентов репрессии с надежностью 95%.
3.Определить прогнозные значения бета-коэффициентов рискованных активов методом экспоненциального взвешивания, если Л, =Я2 = Лз = Л = 0,9.
20.6. Данные о доходностях рискованных активов трех видов, доходностях рыночного индекса акций и величинах безрисковой процентной ставки последовательно за 10 мес. приведены ниже.
| | г;, % | | г1 % | /з, % |
| | | 26,3 | 23.7 | 23.2 |
| | | 15,4 | | 17.9 |
| | | 16,5 | | 12,6 |
| | | 13,6 | 14,2 | 18.1 |
| | | | 20,3 | 18.7 |
| | | 22,5 | 10,7 | 22,6 |