2.15. ОТЫСКАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ В УСЛОВИЯХ ОДНОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ РЫНКА

Если рынок рискованных активов удовлетворяет однофакторной модели, то

г. = а + /+£у , у=],2....,п.

При некоррелируемых остаточных доходностях касательный портфель, принадлежащий эффективной границе Г(Ц,) и соответ-струющий безрисковой ставке < г (г* - ожидаемая доходность портфеля с наименьшим риском), определяется вектором

tL 1L Р Р Р

и д2

ST i

Если же на рынке, удовлетворяющем однофакторной модели с некоррелируемымн остаточными доходностями, запрещены короткие продажи активов, бета-коэффициенты активов положительны и

PiР2Р.

ТО касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке ly, определяется вектором

Э, = .......... ,

• ft

Zf= -

, У = 1,2,...,/;

2"=0, ; = /+!,..,,п;

Ф, <Ф2 < •<Ф/, Ф/ЙФм

* F -г

15.1. На рынке, удовлетворяющем однофакторной модели (остаточные доходности не коррелируют), разрешены короткие продажи активов. Основные данные о рьшке приведены ниже.

Найти касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке гу = 0,04, если F-0,i, = 0.02, Определить ожидаемую доходность и дисперсию доходности касательного портфеля.

15.2. Рынок удовлетворяет однофакторной модели с некоррс-лируемыми остаточными доходиостями, су =0,1, а остальные ланные приведены ниже.

Найти касательный портфель рискованных активов, соответствующий безрисковой процентной ставке = 003, если: а) разрешены короткие продажи активов; б) запрещены короткие продажи активов.

15.3. Рынок удовлетворяет однофакторной модели с иекорре-лируемыми остаточными доходиостями, al =0,001, а остальные данные приведены ниже.

Найтн касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке г= 0,03, если запрещены короткие продажи активов.

Определить инвестиционный портфель не склонного к риску иивестора, обеспечивающий ожидаемую доходность в 12%.

15.4.В условиях задачи 15.3 иайти касательный портфель, соответствующий безрнсковой процентной ставке г= 0,04. Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности касательного портфеля.

15.5.Рынок удовлетворяет однофакторной модели с иекорре-лируемымиостаточиыми доходиостями, =0,04. Остальные данные приведены ниже,

Найти касательный портфель рискованных активов, соответствующий безрнсковой процентной ставке г/= 0,04. если: а) разрешены короткие продажи активов; б) запрещены короткие продажи активов.

2Л6. РАВНОВЕСИЕ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ

Дан финансовый рьток, на котором обращаются рискованные активы п видов и оперируют т инвесторов.

Инвесторы имеют однородные ожидания относительно данного финансового рынка, если: все они рассматривают один и тот же временной горизонт, одинаково оценивают инвестиционные качества рискованных активов и у всех инвесторов одно н то же множество инвестиционных возможностей.

При этом каждый инвестор, формируя стратегию на рынке, максимизирует свою функцию полезности вида (У(<т, г), где г -ожидаемая доходность инвестиционного портфеля, а а-стандартное отклонение его доходности.

Замечание, Если на рынке разрешены короткие продажи рискованных активов, а инвесторы могут предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую процентную ставку Гр то функция полезности записывается следующим образом:

t/((7,r), где г = (1~Эо>у + вог(е), cT = 0ocr(G), 0eft„, ©оО-

Если такая функция полезности достигает наибольшего значения при 00 > О, то в точке максимума отношение

принимает одно и то же значение для всех i = I, 2,..., п.

Финансовый рынок находится * равновесии, если все рискованные активы распределены между инвесторами, а каждый инвестор при этом максимизирует свою функцию полезности.

Финансовый рынок называется совершенным, если: все рискованные активы свободно обращаются на рынке, разрешены короткие продажи этих активов, участники рынка являются «потребителями цен» и рынок работает «без трения».

финансовый рынок является почти совершенным, если выполняются все условия для совершенного рынка, но запрещены короткие продажи рискованных активов.

Рыночный портфель определяется вектором

М = (0),,..., <о„,..,

где % - отношение стоимости рискованных ценных бумаг г-го вида к стоимости всех активов на рьшке, /= 1,2,,.., п.

Основные утверждения о равновесных рынках при инвесторах, не склонных к риску н имеющих однородные ожидания.

1.Если рынок рискованных активов является совершенным, то инвестиционная возможность (<7(Л/), г(М», определяемая рыночным портфелем М, принадлежит эффективной границе Г(Д).

2.Если инвесторы могут предоставлять кредиты н брать ссуды под безрнсковую процентную ставку Гу, а рынок рискованных активов является совершенным или почти совершенным, то касательный портфель Эг, соответствующий ставке /у, оказывается рыночным, а эффективная граница множества инвестиционных возможностей определяется уравнением

п«f{M)-r.

Луч, заданный уравнением г~-а + г, сгкО,

назы-

г(М)-г.

вается линией рынка капиталов, а величина - - рыноч-

ной ценой риска. t16

16Д. Даны рискованные ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями >\ = 15%, Г21Ь%, Гз = 35%, ковариационная матрица доходностей которых равна

0.1 -0.1 О

-ОД 0.2 О

Найти инвестиционный портфель, максимизирующий функцию попсзиости t/(CT, г) = г-2(Г, если разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг, а инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую процентную ставку /у =0,05.

16.2. Даны рискованные ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями п = 16%, Г2 = 26%. Гз = 30%, ковариационная матрица доходностей которых равна

Год о

0,2 ОД

0,2 0,5

Найти инвестиционный портфель, максимизнруюшнй функцию полезности U{c, r) = r- 2сГ, если разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг, а инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую процентную ставку

г= 6%.

16J, Инвесторы могут предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую ставку iy= 0.08. Записать уравнение линии рьшка капиталов, если ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 12%, а стандартное отклонение его доходности составляет 25%., Какова рыночная цена риска?

16.4. Инвесторы могут предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую ставку 0,06. Записать уравнение линии рынка капиталов, если ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 10%, а стандартное отклонение его доходности составляет 30%. Какова рыночная цена рнска?