1.Найти касательные портфели, соответствующие безриско-вым процентным ставкам /"/, = 6% и г = 8%.
2.Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковые ставки /у = 6% и /у = 8% соответственно.
3.В условиях п, 2 данной задачи указать стратегию не склонного к риску инвестора дня обеспечения ожидаемой доходности а) Л, = 20%; б) = 45%; в) Ry = 50%.
11.6. Даны рискованные активы трех видов с ожидаемыми доходностями / = 0.1, Pj = 0,2, = 0,35, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0.5 -0.5 О -0.5 1 0,5 О 0,5 1
Короткие продажи рисковаииыхктнво разрещены.
1.Найти касательные портфели 01 и 02, соответствующие безрисковым процентным ставкам /у =0,05 и /у =0,09.
2.Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковые ставки = 0.05 и rj- = 0,09 соответственно.
3.В условиях п. 2 данной задачи найти инвестиционный порт-
фель так, чтобы отношение -- было наибольшим.
о"
11.7. Даны рискованные ценные бумаги четырех видов с ожидаемыми доходностями; 5=0,12. Р, =0.28, Гз=0,28, Г4 = 0.48, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
Г 0,1 О О
0,2 О О
0,2 0,2
О.П О
0,2 0,4,
Короткие продажи рискованных активов разрешекы.
1.Найти касательный портфель из Г(04), соответствующий безрисковой процентной ставке Гу= 0,08.
2.Найти касательный портфель из ЦГ), соответствующий безрисковой процентной ставке /у = 0,08, где
К4 = 10=(0„02,0з,04)еЙ4ез>О).
2.12. ОТЫСКАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ ЗАПРЕЩЕННЫХ КОРОТКИХ ПРОДАЖАХ РИСКОВАННЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ
Даны рискованные ценные бумаги и видов с ожидаемыми доходностями r, .....г„, ковариационная матрица доходностей которых равна Л - ((Ту).
Если г{А) = п, среди ожидаемых доходностей .....f„ есть
несовпадающие, а гг< min {Р), то справедливы следующие утвер-ждения.
1.Существует, и притом единственный, касательный портфель из Г(Йд), соответствующий безрисковой процентной ставке г.
2.Если вектор г = (г[, zl,...,zl) - решение системы
AjZ(=0, Д,>0. Zi>0, / = 1,2.....п,
(12.1)
то вектор
е.г =
/я
принадлежит эффективной границе T{it„) и является касательным портфелем, соответствующим безрисковой процентной
ставке г.
Замечание, Для решения системы (12.1) достаточно найтн оп-тималькое решение задачи линейного программирования
ДгО, ,0, г,£0. / = 1,2,...,л.
базнс которого не содержит сопряженных векторов условий.
12.1. Даны рискованные ценные бумаги двух видов со следующими параметрами:
fi =0.16. г. = 0,2, Л =
IOJ 0,2 0,2 0.8
Короткие продажи рискованных ценных бумаг запрещены.
1.Найтн касательный портфель 8/, соответствующий безрнсковой процентной ставке 0,14.
2.Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую ставку г= 0,14.
3.Указать стратегию ие склонного к риску инвестора для обеспечения ожидаемой доходности J? = 18%,
12.2, Даны рискованные ценные бумаги трех видов со следующими параметрами:
7j =0,1, = 0,2, 3 = 0,3, Л =
fO,l О 0 О 0,2 -0,1 О -0,1 0.2
Короткие продажи рискованных ценных бумаг запрещены. 1. Найти касательный портфель, соответствующий безрнсковой процентной ставке /у= 0,06.
2.Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую ставку гу= 0,06.
3.Указать стратегию не склонного к риску инвестора для обеспечения ожидаемой доходности Д=0.15.
12.3. На рынке запрещены короткие продажи рискованных ценных бумаг трех видов со следующими параметрами:
j\=0.12, Г2 = 0,2, Гз=0,4, Л =
0.1 О о,П
О 0,2 -0,1 0.1 -0.1 0,3
1.Найти касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам Гу =0,04 и гр=0,1.
2.Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку = 0,04, а брать ссуды под безрнсковую ставку /у =0,1.
3.Указать стратегию не скложого к рискуиивесгорадпяобеспе-чения ожидаемой доходносш: а) it = 15%; б) Д = 30,5%;в) Л = 50%.
12.4. Даны рискованные ценные бумаги трех видов со следующими параметрами:
ГО.2
Гу = 0,18, Г2 = 0,25. гз = 0,28, Л =
0,1 0,3
0,1 0.3 0,3 0,2 0,2 0,5
Составить уравиеине эффективной границы, если инвестор может предоставлять кредиты под безрнсковую ставку rj =0,03, а брать ссуды под безрнсковую ставку =0,05 при запрещенных коротких продажах рискованных ценных бумаг.
12.5. Далы рискованные ценные бумаги четырех видов со следующими показателями:
rj =0,16, Г2 = 0,28, Гз =0,26, Г4 =0.48, Л =
0.2 О О
0,2 0.2
0,П О
0.2 0,4
Короткие продажи рискованных ценных бумаг запрещены.
1.Составить уравнение эффективной границы, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую процентную ставку Tj- 0,08.
2.Найтн инвестиционный портфель так, чтобы отношение f-0,4
было наибольшим,
(а-0,2)
2.13. -ФМСТОРНАЯ МОДЕЛЬ РЫНКА РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ
Рынок удовлетворяет /г-факторной модели, если существует к экономических факторов f „ ..., F;,..., /" и набор чисел
.....A,.....ft, У = 1,2.....в.
таких, что
cov(F,) = 0, = 1,2.....к, у = 1,2.....п,
где f,, - , - доходности рискованных активов;
£], # «и - остаточные доходности (случайные величины).
Имеют место следующие равенства:
к
к к
cov(/;, r>=5.,cov(f,,/;), ( = 1,2.....k, jii.....n.
В условиях fe-факторной модели доходность портфеля активов Р % ®п) записывается в виде
гдеар = 2ае, Д.р=Ху®у- /=Еуг
Мy-iJ=l
Стандартное отклонение остаточной доходности портфеля активов называется нефакторным или особым риском этого портфеля, а величина
его факторным риском. Особый риск портфеля активов может быть устранен за счет диверсификации.
13,1. Найти факторные бета-коэффициенты рискованного актива, если известна факторная ковариационная матрица
0.1 -0,2 -0.2 0,5
cov(f„ г) = -0.04 и cov(/"2, г) = 0,13.
13.2. Определить факторные бета-коэффнцненты рискованных активов двух видов, если известна факторная ковариационная матрица
fO,I 0,1 О 0.1 0,4 0.1 .
О ОД 1,2
cov(fг,) = 0,2, cov(/-2, г,) = 0,5, соу(5з, г,) = 0,8, cov(F,, Гз) = 0,04, cov(f2. 2) = 01> cota, fj) = 1.42.