Найтн множество ннвестнинонных возможностей, если инвестор может кредитовать и брать ссуды под безрнсковую процентную ставку в 8% и разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг.

2.10. ЭФФЕКТИВНАЯ ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ БЕЗРИСКОВОГО АКТИВА

Портфель рискованных активов 0 е К„ называется касательным портфелем соответствующим безрисковон процентной ставке у, если существует число > О, прн котором инвестиционная возможность

a-0;)r+0;r(0)J

является недоминируемой.

Касательный портфель 0, соответствующий безрнсковой процентной ставке /у, всегда определяет инвестиционную возможность, принадлежащую эффективной границе Г(К„), н удовлетворяет условию

Г<0)-г. пв)-Гг

max--4=-

v„ (7(0) а{е)

Касательные портфели 0у и 0/, соответствующие безрисковым процентным ставкам /у и /у, где /у < г, удовлетворяют следующим неравенствам:

г(ё,)<г(0р и сг(9,)сг(ёу).

Если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую процентную ставку jy и существует касательный портфель, соответствующий этой ставке, то эффективная граница множества инвестиционных возможностей является лучом:

F(e)-7

<т(0)

Если же инвестор может предоставлять кредиты под безрнсковую ставку , а брать ссуды под безрнсковую ставку г /i /з > то эффективная граница множества инвестиционных возможностей определяется следующими условиями:

<T+rf При О<(т£(т(0/),

Cr + r-f при (Т(0/2)<(Т<«

<1(0/2)

(<г, г)еГ(К„) прн (T(0)<o-<o(0/j).

ЮЛ. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности касательного портфеля, соответствующего безрнсковой ставке /у = 0,08, равны 15 и 40%.

Найти эффективную границу множесгва инвестиционных возможностей, если инвесгор может предоставлять кредиты и брать ссуды под указанную безрисковую ставку.

10.2, На рынке разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг двух видов со следующими показателями:

Г£=0,1, Oi=JoJ, F2=0,16, <T2=VM. Р)2=-

1.Определить эффективную границу UQj)-

2.Найтн касательные портфели, соответствующие безриско-вым процентным ставкам ?У=0,06 и /у=0,07.

3.Записать уравнение эффективной границы множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку /, а брать ссуды под безрисковую ставку .

10.3.На рынке разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг. Инвестор может предоставШ1Ть кредиты под безрнсковую процентную ставку г =6%, а брать ссуды под безрисковую процентную ставку г =8%. Ожидаемые доходности касательных портфелей и в/ соответственно равны 20 и 40%.

Найтн инвестиционный портфель с наименьшей дисперсией доходности при ожидаемой доходности, равной: а) 1 l,6%i; б) 30%; в) 46,4%.

10.4.Эффективная граница Г(Й) имеет вид

100г-38г + - 3

0,19; 31

31 1

105 0.4

Определить безрисковую процентную ставку, если ожидаема}! доходность касательного портфеля, соответствуюшсго этой став4Г ке, равна: а) 25%; б) 32%.

10.5. Эффективная граница Г(£1„) определяется уравнением

(T = i(350f-i96r+29,4), г>0,28.

Касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам rj =0,12 и г =0,2. имеют ожидаемые доходности 315 и 35%.

Определить эффективную границу множества инвестнцион* ных возможностей, если инвестор может предоставлять кредить! под безрисковую ставку /у, а брать ссуды под безрисковую стаВ" ку 7,-

2.11. ОТЫСКАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПОФЕЛЯ ПРИ РАЗРЕШЕННЫХ КОРОТКИХ ПРОДАЖАХ РИСКОВАННЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ

Даны рискованные ценные бумаги с ожидаемыми доходностями , F, ковариационная матрица доходностей которых равна ACaj).

Еспнг(А) = п, а среди ожидаемых доходностей F, r,,...,F есть несовпадающие, то справедливы следующие утверждения.

1. Для сушествования касательного портфеля Beil, соответствующего безрисковой процентной ставке гу, необходимо и достаточно, чтобы <F* (г* - ожидаемая доходность портфеля из Q„ с наименьшим риском).

При этом ожидаемая доходность г касательного портфеля 0у удовлетворяет равенству

Г/В+2С

В+2АГ

2.Если портфель 0 определяет инвестиционную возможность из эффективной границы r(Q„), то он является касательным портфелем, соответствующим безрисковой процентной ставке

г =2C+F(0) 2г(0) + 5

3.Касательный портфель 0 , соответствующий безрисковой процентной ставке <г , определяется следующими условиями:

0/ =

Cf2f +

1 = 1,2.

ПЛ. Разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг трех видов, коварнациоиная матрица доходностей которых имеет вид

О О

о 0,2 -0J О0,4

Эффективная граница Т(И) определяется портфелями вида

ввйп(г) =

- ,„ 25 5 15 3 2-10г, -г-, -г - 4 8 4 8

23 150

1.Найти касательный портфель 9, соответствующий безрисковой процентной ставке = 0,0S.

2.Определить безрнсковую процентную ставку jy так, чтобы портфель

] 15 9 2 16 16

Г(Дз)

являлся касательным портфелем, соответствуюшцм этой ставке.

11.2. Портфели 01 и 02 определяют инвестиционные возможности из эффективной границы Г(П„), причем

г{0г) = ОЛ г(©2) = 0,2, (Т<0,) = О,2. (Т(02) = О.5. р(0].02) = -О.2.

Найти ожидаемую доходность касательного портфеля, соответствующего безрнсковой процентной ставке ОД.

11»3. Разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид

0,1 О 0,21 О 0,1 О 0,2 О 0,6

Эффективная граница Т(0) определяется портфелями вида

©min (г) =

(\1 10 5 7 5 1П

---г, -г-н-, -г--

15 3 3 30 3 30

г £0.1.

1.Определить эффективную фаницу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку гд - 0,02, а брать ссуды под безрнсковую ставку г =0,03.

2.Определить безрисковую процентную ставку /у так, чтобы портфель

30 60

являлся касательным портфелем, соответствующим этой ставке.

11.4. На рынке разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг двух видов, причем

Р =10%, =15%, Л =

Г0,4 0,3" 0,3 0,5

1.Найти касательный портфель 0/, соответствующий безрисковой процентной ставке - 6%.

2.Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрнсковую ставку = 6%.

3.В условиях п. 2 данной задачи определить стратегию не склонного к риску инвестора для обеспечения ожидаемой доходности Я = 10%.

11.5. Разрешены короткие продажи рискованных активов трех видов с ожидаемыми доходиостями = 20%, = 30%. = 50% ковариационная матрица доходностей которых имеет вид

(0,\ О 0.2

О 0,2 О 0,2 О 0,6