назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]


12

1)функцииi = 1, 2, .„, s, выпуклы н дифференцируемы иа всем п-мериом пространстве Д";

2)функция (р(д:,, j, х„) выпукла и дифференцируема на множестве

!2 = (Д/(:„дг2.....дг,)бЛу;{Д/)£0,

1 = 1,2.....S, ДМ) = 0Д = 1.2.....г),

где fffc(AO - линейные функции, А = 1,2,..., г;

3)существует точка Q такая, что

/;(A0<O,i=1.2.....S.

Точка Л/Сл?, Х2,...,л) является точкой глобального минимума функции (f(д:, j,х„) на множестве Q тогда н только тогда, когда существует набор чисел fi,, -, i. - * К гДе Ц[>0,..., ij>0, такой, что

1)~(Л/о)=0, У = 1,2,...,п;

2)№У;(Л/о)=0, ( = 1,2.....

3)/;(A/oJ<0, /=1,2...,; 4)gfr(A/o) = 0, Аг=1,2, ....г

/=1Ы\

функция Лагранжа.)

3.1. Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид

( 0,4 -0,2 -0,2 0,6

Найти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены.

3.2. Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид

("0,6 0,3"! 0,3 0,2

Найти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены,

3.3. Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид

0,1 О 0,2 О 0,2 О 0.2 О 0.5

Найти портфель с наименьшим риском, есгш короткие прбда-жи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены.

3.4. Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид

0,5 О 0,4 О 0,4 0.3 0,4 0,3 0.6

Найти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены; в) запрещены, а доля средств, инвестированных в ценные бумаги второго вида, не может превышать 50%.

3.5. Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид

1 0.2 0,4 0,2 0,1 О 0,4 О 0,8

Найти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены.



3.6. Найти портфель с наименьшим риском при разрешенных коротких продажах ценных бумаг, если ковариационная матрица доходностей денных бумаг имеет вид

0.30.20,1 О

0,20,40.3 О

0.10,30,60,2

ОО0.2 I

3.7. Ковариа1щонная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид

10,20,40.4

0,20.1ОО

0,4 О0.8О

0,4 ОО0.8

Найти портфель с наименьшим риском, если разрешены короткие продажи ценных бумаг, а доля средств, инвестированных в ценные бумаги второго вида, не может превышать 50%,

3.8. Коварнанионная матрица доходностей ценных бумаг имеет

/ 10,20,40.4

0,20.1 ОО

0,4 О0,8О

0,4О О0.8

I. Доказать, что при запрещенных коротких продажах цен-

ных бумаг 8 =

о. . -L

5 10 10

- портфель с наименьшим риском.

2, Найти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг запрещены, а доля средств, инвестированных в ценные бумаги второго вида, не превышает 50%.

2.4, МНОЖЕСТВО ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ ЗАДАННОМ НАБОРЕ ЦЕННЫХ БУМАГ

Множество нивестиционных возможностей М. (при заданном наборе ценных бумаг - это множество всех точек плоскости (а. г), удовлетворяющих следующим условиям;

i=]f"< j

e=(ej,02,...,eJeK„,

где MPi) - ковариационная матрица доходностей данных ценных бумаг;

V 2 * Л. ~ ожидаемые доходности этих ценных бумаг;

V„ - множество допустимых портфелей (замкнутое и вы* пуклое множество в н-мериом пространстве Я-

Простейшие свойства множеств инвестиционных возможностей.

1.(V„) с Ш (к;), если V„ с f;,

2.Ш fn:)c:Tii(Q„),

где ii = G€ R"

Xe,=l

2e,=l. Э,£0,/ = 1,2.....n

3. m 401.02)С (Г,), если 0,02€ V„; m (0i,02)Cy)H(iiJ, если 01,02 e



(i (01, вг) > Iii (вьвг) - множества нивестициоиных возможностей при двух ценных бумагах 0i н 02, если соответственно разрешены нлн запрещены короткие продажи этих ценных бумаг.)

4.1. На рынке имеются ценные бумаги двух видов с ожидаемыми доходностями fj =0,15 и =0,25 , ковариационная матрица доходностей которых имеет вид

Гол 0.2 0.2 0,5

Найти значения о, прн которых:

а)(о;0,16)е Яй(й); б)(а;0Л8)е Ш(С1*Х

4.2. На рынке имеются ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями /[ = 0,1, = 0,2 н = 0,25, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид

fO,I о 0,2 О 0.2 0.3 . 0,2 0,3 1

Найти все значения о, прн которых:

а) (о; 0.26) е т (Q3); б) (<т; 0,26) е Ш(iij).

4.3. На рынке имсеотся ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 0,2, = 0,2 и Г3 = 0,4, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид

( 0,1 О -0,1 1

о 0,2 0,2 "0,1 0,2 0,4

Найти все значения сг, при которых

а) {<j; 0,4) € тш б) (о; 0,4) е тф.

4.4. Имеются ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 0,1. р2" •З и Гз - 0,4, ковариационная матрица Доходностей которых имеет вид

0.2 -0,1 О -0,1 0.4 0,3 О 0,3 0,5

Доказать, что точка

I; 0,2

принадлежит М(Оз), но не

принадлежит (0,02),где 0, =(-1, 2. 0), 02(0, О, 1).

4.5. Доказать, что точка (JO.196; 0,22) принадлежите (©1,02),

если ©1 =

Q А 1 2 4 4

, ©2 =

I l\2=0.20:0=0,40,

0,1 0,1 0,2 1 0,1 0,2 О 0,2 О 1,0

2.5. МНОЖЕСТВО ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ ДВУХ ЦЕННЫХ БУМАГАХ

Множество инвестиционных возможностей (Йз) определяется условиями:

<Т = 1(Т? 0? +<у1 &1 + 2Р12О1СГ2 0,021, 0, + 02=1.

Где и Г2 - ожидаемые доходности данных ценных бумаг; <Т и < - стандартные отклонения этих ценных бумаг; pi2 - коэффициент корреляции между их доходностями.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ 12 ] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58]