Вероятность0.10,20,20.30,2

Доходностъ,% 3.03.54,05,06,0

1Д2. Дана двухлетняя облигация стоимостью 100 долл. На рисунке показано распределение доходов от облигации.

Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности облигации за 2 года, если доходы можно реинвестировать под 5% годовых.

1.13. Даиа двухлетняя облигация стоимостью 100 доял,, распределение доходов от которой показано иа рисунке.

Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности облигации за 2 года, если доходы можно реинвестировать под: а) 5% ; б) 8%.

2.2. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И ДИСПЕРСИЯ ДОХОДНОСТИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Любой портфель, сформированный из ценных бумаг п видов, можно рассматривать в виде л-мериого вектора

© = ©2.....0«Х

где Qf - доля стоимости портфеля, инвестированная в ценные бумаги i-ro вида, г" = 1, 2,п.

Если на рынке разрешены короткие продажи ценных бумаг, то показатели в, могут иметь любые знаки, а при запрещенных коротких продажах все 0 должны быть неотрицательными.

Ожидаемая доходность портфеля 0 (0,, 0..... ) является линейной комбинацией ожидаемых доходностей ценных бумаг, входящих в этот портфель, т.е.

Дисперсия доходности портфеля 0 = (9,02,...,0„) определяется следующим равенством:

/=1/<у

где «г/ - дисперсия доходности ценной бумаги /-го вида, /=1,2,/?; <Ту - ковариация между доходиостями ценных бумаг г-го и J-ro видов.

Ковариационная матрица доходностей данных ценных бумаг имеет следующий вид:

"13 СГ25

2.1. Портфель ценных бумаг содержит акции трех видов, информация о которых приведена инже.

Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности данного портфеля ценных бумаг, если известны коэффициенты корреляции между доходностями ценных бумаг; Pi2 = 0,20; pi3 = 0,50; Р2з = 0,30.\

2.2. Дан портфель ценных бумаг, содержащий акции четырех видов, информация о которых приведена ниже.

Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности данного портфеля ценных бумаг, если известны ко-

эффициенты корреляции между доходностями ценных бумаг; Pi2 = 0>20; р,з = 0,30; р = -0,10; pj = -0,20; P24 = 0,50; P54 = 0,40.

2.3. Даны ценные бумаги трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет следующий вид:

fO,3 0,2 0,0 0,2 0,4 0,3 0,1 0,3 0,6

Найти стандартное отклонение доходности портфеля ценных бумаг, если доли средств, инвестированных в ценные бумаги, соответственно равны -0,1; 0,6; 0,5.

2.4. Даны ценные бумаги двух видов, информация о которых приведена ниже.

Определить ожидаемую доходность н стандартное отклонение доходности портфеля из этих двух ценных бумаг, если:

а) 0] - -2; = 3; б) ©] = 0,25; = 0,75.

2,5. Имеются ценные бумаги трех видов, информация о которых приведена ниже.

Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля из данных трех ценных бумаг, если;

а) ©,=-.25; 63 = 0.8; 63 = 0,45; б) в] =0,4; 82 = 0,1; 83 = 0,5.

2.6- Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет следующий вид:

0,1 -0.1 0,2 -0,1 0,3 -0.2 . 0,2 -0,2 0,8

Нашп коэффициент корреляции между доходиостями портфелей 6] =(0,5; 0.25; 0,25) н 9 =(0.1; 0,6; 0,3).

2.7, В таблице приведены доходности двух ценных бумаг за 10 мес.

Оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля 9 = (0,4; 0,6),

23. ОТЫСКАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ С НАИМЕНЬШИМ РИСКОМ

Если Л(а,у) - ковариационная матрица доходностей рассматриваемых ценных бумаг, то портфель с наименьшим риском является точкой глобального минимума функции

на множестве допустимых портфелей К„,

При разрешенных коротких продажах ценных бумаг портфель в = (0, ©2,..., 0„) подвержен наименьшему риску тогда н только тогда, когда он удовлетворяет следующей системе линейных уравнений:

lafei + lajSj + л0. I 1,2.....п,

Если же короткие продажи ценных бумаг запрещены и нет иных ограничений на формирование портфелей, то для отыскания портфеля с наименьшим риском достаточно решить следующую задачу:

<у1=Х<те?+2<x,je,ej (min).

2,0.=1.

e,>o, /=1.2.....п.

которая сводится к стандартной задаче квадратичного программирования:

+ 22(7;,(1-е,-02-----ei)0, (min).

0, so, / = 1,2.....л-1.

В общем случае для отыскания портфеля с наименьшим риском можно использовать теорему Куна-Таккера.

Теорема Куна-Таккера. Предположим, что вьшолняются следующие условия: